Estaba leyendo un papel y que el autor define el concepto de medidas conservadoras:
Deje $(X,\mathcal{B})$ un espacio medible y $G$ un grupo que actúa en $X$ por $$G\times X:(g,x)\mapsto T_g(x)$$ where all the functions $T_g$ son medibles.
Una medida $\mu$ $(X,\mathcal{B})$ se llama conservador en $G$ si para cada a $A\in \mathcal{B}$ $\mu(A) > 0$ existe $g \in G\setminus\{1\}$ $$\mu(A\cap T_g^{-1}A) > 0$$ Me preguntaba si esta definición es conocida en la literatura o si es específico para este papel?.
Se puede notar que si la acción de $G$ está dada por un invertible medibles función de $T$ y la medida de $\mu$ es ergodic, luego por la de von Neumann ergodic teorema (en $L^2(\mu)$) tenemos que para cada $A \in \mathcal{B}$ $\mu(A) > 0$ $$\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \mu(A \cap T^{-k}A) = \left\langle 1_A , \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} 1_A \circ T^k \right\rangle_{L^2(\mu)} \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \mu(A)^2 > 0$$ So it must exists $k \in \mathbb{N}$ tal que $$\mu(A \cap T^{-k}A) > 0$$ Por lo tanto $\mu$ es conservador por el grupo de acción $(T^n)_n$.
Edit: Más generalmente, si la medida es invariante por la acción $(T^n)_n$ tenemos el mismo resultado gracias a la Recurrencia de Poincaré Teorema .
Hay más general de la relación entre las medidas conservadoras y ergodic medidas?
Cualquier comentario o referencia que será apreciado.