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Una acción de grupo

Estaba leyendo un papel y que el autor define el concepto de medidas conservadoras:

Deje $(X,\mathcal{B})$ un espacio medible y $G$ un grupo que actúa en $X$ por $$G\times X:(g,x)\mapsto T_g(x)$$ where all the functions $T_g$ son medibles.

Una medida $\mu$ $(X,\mathcal{B})$ se llama conservador en $G$ si para cada a $A\in \mathcal{B}$ $\mu(A) > 0$ existe $g \in G\setminus\{1\}$ $$\mu(A\cap T_g^{-1}A) > 0$$ Me preguntaba si esta definición es conocida en la literatura o si es específico para este papel?.

Se puede notar que si la acción de $G$ está dada por un invertible medibles función de $T$ y la medida de $\mu$ es ergodic, luego por la de von Neumann ergodic teorema (en $L^2(\mu)$) tenemos que para cada $A \in \mathcal{B}$ $\mu(A) > 0$ $$\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \mu(A \cap T^{-k}A) = \left\langle 1_A , \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} 1_A \circ T^k \right\rangle_{L^2(\mu)} \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \mu(A)^2 > 0$$ So it must exists $k \in \mathbb{N}$ tal que $$\mu(A \cap T^{-k}A) > 0$$ Por lo tanto $\mu$ es conservador por el grupo de acción $(T^n)_n$.

Edit: Más generalmente, si la medida es invariante por la acción $(T^n)_n$ tenemos el mismo resultado gracias a la Recurrencia de Poincaré Teorema .

Hay más general de la relación entre las medidas conservadoras y ergodic medidas?

Cualquier comentario o referencia que será apreciado.

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MHS Puntos 599

Las medidas conservadoras son bien conocidos (edad) concepto procedente de la física, donde el sistema es conservativo si no "suelta" de energía (por ejemplo, sin fricción). En este caso, un volumen correspondiente de la fase se conserva el espacio, y si uno se formaliza esta idea llegamos a una conservadora. Sin embargo, este concepto es un poco antigua como la gente hoy en día sobre todo hablar de ergodic medidas. Las medidas conservadoras han sido tan amables de los predecesores de la noción de ergodic medidas.

Para un no de edad de referencia (en el caso de Z-acciones), ver el libro Invitación a la ergodic theory por Silva. Los libros antiguos (de los años 60 y 70) en ergodic theory suelen tener este así.

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Sarnac Puntos 21

Conservativity de la acción no es necesariamente inmediato infinito para medir los espacios, y este se donde esta definición es útil (ver Aaronson del libro), por ejemplo, $x\mapsto x+1$ no es conservador en $\mathbb{R}$ con la medida de Haar (pero certianly medida de conservación).

Maharam del teorema relaciona conservativity y la recurrencia en general.

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