$A$ un anillo absolutamente plano $\Rightarrow$ $S^{-1}A$ es absolutamente plana

Question

Yo estaba haciendo un poco de ejercicios en el libro de Atiyah / MacDonald en Álgebra Conmutativa, y estoy un poco "pegado" con el número 3.10 (i):

Si $A$ es absolutamente un anillo plano y $S\subseteq A$ un multiplicatively subconjunto cerrado, entonces la localización de la $S^{-1}A$ es absolutamente plana.

Quería utilizar un criterio mostrado anteriormente: $A$ absolutamente plana $\Leftrightarrow$ cada director ideal de $A$ es idempotente.

Así que si $\frac{a}{s}\in S^{-1}A$, mi plan era para mostrar que no existe un $\frac{b}{t}\in S^{-1}A$$\frac{b}{t}\cdot(\frac{a}{s})^2=\frac{a}{s}$. Desde la más absoluta a la llanura de $A$, sabemos que hay$x,y\in A$$xa^2=a$$ys^2=s$. Así que elegir $b:=x$, $t:=y$ uno puede hacer esto, pero no veo por qué no $y$ debe ser en $S$? Supongo que esto tiene que ser "obvio" de alguna manera, y sólo estoy siendo estúpido!?

Entonces traté de buscar en google, pero lo único que encontró fue una solución diferente (aquí), y me gustaría hacerle una pregunta con respecto a esta solución, también, pero no sé si este es el lugar adecuado para hacerlo? Ya que es el mismo tema, eso espero, pero si no, por favor me corrigen y voy a editar este post.

Deje $P$ ser arbitraria $S^{-1}A$-módulo. El autor dice que hay un claro isomorfismo $S^{-1}P\cong S^{-1}A\otimes_A P\to P$ $S^{-1}A$- módulos. La primera isomorphy es claro para mí (y comprobado en el libro), pero yo no la segunda. Creo que los mapas debe tener este aspecto:

$\varphi:S^{-1}A\otimes_A P\to P, \varphi(\frac{1}{s}\otimes p)=\frac{1}{s}p$, y

$\psi:P\to S^{-1}A\otimes_A P, \psi(p)=1\otimes p$.

A continuación,$\varphi\circ\psi=1$. Como para $\psi\circ\varphi$, vamos a $\frac{1}{s}\otimes p\in S^{-1}A\otimes_A P$,$\psi(\varphi(\frac{1}{s}\otimes p))=\psi(\frac{1}{s}p)=1\otimes\frac{1}{s}p$, y luego no sé por qué me puede pasar el $\frac{1}{s}$. Sé que hay un $S^{-1}A$-estructura del módulo en el producto tensor, pero pensé que era de la forma $\frac{a}{s}\cdot(\frac{1}{t}\otimes p)=\frac{a}{st}\otimes p$. Tiene que tener algo que ver con el $S^{-1}A$-módulo de estructura en $P$. Supongo que debería ser más fácil para mostrar $S^{-1}M\cong M$ directamente, tuve la idea de hacerlo de esta manera, pero no probarlo todavía. Voy a hacerlo ahora, pero la pregunta sigue siendo. Tiene que ser una cosa simple que me dan de nuevo, algo que yo no entendía plenamente todavía, y espero que usted me puede ayudar a entender!

Gracias por su ayuda de antemano!

Answer 1

Consejo: para cualquier $S^{-1} A$-módulo $M$, $x,y \in M$ y $s \in S$, $sx = y \iff x = \frac{1}{s} y$.

Answer 2

Soy demasiado tarde con la respuesta, pero ahora estoy haciendo el mismo ejercicio.

Es posible utilizar el siguiente argumento, ya que para cualquier $a\in A$ podemos encontrar $x\in A$ tal que $a = a^2x$ podemos probar el siguiente truco, tomar cualquier $a/s\in S^{-1}A$

$$ \frac{xs}{1}\left(\frac{a}{s}\right) ^ 2 = \frac{a^2sx}{s^2}=\frac{a^2x}{s}=\frac{a}{s}, $$ donde por supuesto $xa^2=a$, tenga en cuenta que $xs/1$ es un correcto elemento de $S^{-1}A$. Parece que este argumento muestra que cada ideal principal de $S^{-1}A$ es idempotent, ¿no?