Yo estaba ayudando a alguien cuando me rasqué la cabeza, porque de esta pregunta. Va como este:
Si el término medio de la expansión de la $(x^3 + 2y^2)^n$ $C x^{18} y^{12},$ encontrar C.
Mi trabajo:
Dejo $u = x^3$ $v = 2y^2.$ Luego de hacer esto: $$(u)^6 = (x^3)^6 \space and \space \space \left(\frac{v}{2} \right)^6 = (y^2)^6$$
llegamos $u^6 = x^{18}$ $\left(\frac{v^6}{64} \right) = y^{12}$
Ahora estamos a la conclusión de que la expresión de $(u + v)^n$ tiene un plazo $(u^6)\left(\frac{v^6}{64} \right)$ a lo largo de su expansión al $u = x^3$ $v = 2y^2$ necesitamos encontrar su equivalente en el plazo de $(u^6)\left(\frac{v^6}{64} \right)$ cuando nos vamos de nuevo a tratar con $(x^3 + 2y^2)^n.$
Todo el mundo sabe que en el binomio de expansión de $(u + v)^n,$ en cada término, la suma de los exponentes de la $u$ $v$ $n.$ e hay $n+1$ términos.
Con eso en mente, la suma del término particular $(u^6)\left(\frac{v^6}{64} \right)$ $n = 12$ y el número de términos en particular que la expansión de la es $12+1 = 13.$ Ya que el problema pide el coeficiente de medio plazo, $C x^{18} y^{12},$ necesitamos encontrar su medio plazo. Resulta, en el binomio de expansión que contiene $13$ términos, el medio plazo ser la $7$th plazo.
Ahora buscando para la expresión de la $7$el plazo:
$$nth \space term = C(n, r-1) u^{n-r+1} v^{r-1}$$ $$expression \space of \space 7th \space term = C(12, 7-1) (x^3)^{12-7+1} (2y^2)^{7-1}$$ $$ = (924) (x^3)^{6} (2y^2)^{6}$$ $$ = (924) (x^{18}) (2)^{6}(y^2)^{6}$$ $$ = (924) (x^{18}) (64) (y^2)^{6}$$ $$ = (924) (x^{18}) (64) (y^{12})$$ $$ = 59136 x^{18} y^{12}$$
Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que $C = 59136.$
Por último, el término equivalente de $(u^6)\left(\frac{v^6}{64} \right)$$(u + v)^n$, cuando vamos de nuevo a tratar con $(x^3 + 2y^2)^n$ $59136x^{18}y^{12}$
Yo he hecho mi mejor esfuerzo, pero no pude comprobarlo. Es mi solución correcta?
