mostrar que $a{ \left\| x \right\| }_{ 1 }\le { \left\| x \right\| }_{ 2 }\le b{ \left\| x \right\| }_{ 1 }$

Question

demuestran que existen números positivos a,b tales que

$a{ \left\| x \right\| }_{ 1 }\le { \left\| x \right\| }_{ 2 }\le b{ \left\| x \right\| }_{ 1 } $ todos los $x\in { R }^{ N }$

Encontrar la mayor constante de $a$ y el más pequeño de la constante de $b$ con esta propiedad

Puedo aplicar la desigualdad de cauchy (${ \left| { x }_{ 1 } \right| }^{ 2 }+{ \left| { x }_{ 2 } \right| }^{ 2 }+...+{ \left| { x }_{ n } \right| }^{ 2 })(1+1+...+1)\ge { ({ \left| { x }_{ 1 } \right| +\left| { x }_{ 2 } \right| +...+\left| { x }_{ n } \right| }) }^{ 2 }$

por lo tanto ${ \left\| x \right\| }_{ 2 }\ge \frac { 1 }{ \sqrt { n } } { \left\| x \right\| }_{ 1 }$

sin embargo,yo no konw cómo mostrar $\frac { 1 }{ \sqrt { n } } $ es más constante y no tengo idea de encontrar más pequeño de la constante de $b$ con esta propiedad

alguna ayuda? gracias

Answer 1

La aplicación de la de Cauchy-Schwarz desigualdad

$$||x||_1 = \sum_{i=1}^{n}|x_i|\leq\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(1)}=\sqrt{n}||x||_2.$$

Tenemos la igualdad si $x_i = c$ todos los $i$ -- así que esta es la más ajustada a la desigualdad.

$$\inf_{x \,\,\in \,\,\mathbf{R}^n \setminus \{0\}}\frac{||x||_2}{||x||_1}= \frac1{\sqrt{n}},$$

y $a = 1/\sqrt{n}$ es más grande.

Answer 2

Tenemos $$||x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \leq \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n|x_i|\right)^2} = ||x||_1$$ so $b=1$ works. Now since $$||(1,0,0,\ldots, 0)||_1 = ||(1,0,0,\ldots, 0)||_2$$ we get that $b=1$ es el menor valor posible.