¿Cuáles son las simetrías de una sólida caja rectangular cuya longitud, anchura y altura son todos diferentes? Tengo un grupo de orden 4 por rotación de 180, volteo a lo largo de una vertical y de eje horizontal y de sí mismo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si sólo se permite a sí mismo física "simetrías" (simetrías que puede ser realizado por medio de la manipulación de la caja en nuestro familiar 3-espacio):
Coloque el centro de la caja en el origen. Usted consigue una simetría por rotación media vuelta utilizando el $z$-eje de pivote, se puede obtener una simetría por rotación media vuelta utilizando el $x$-eje de pivote, se puede obtener una simetría por rotación de 180 grados con la $y$-eje de pivote.
Si tenemos el número de las esquinas de la caja con $1,2,3,4$ en la parte superior y $5,6,7,8$ en la parte inferior, con $i+4$ bajo $i$, entonces podemos identificar a los cuatro rotaciones con las permutaciones de los vértices. Una de las rotaciones corresponde a $\sigma= (1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$; otro a $\tau=(1,8)(4,5)(2,7)(3,6)$; y el tercero como $\rho=(1,6)(2,5)(4,7)(3,8)$.
Desde $$\begin{align*}\ \sigma\circ\tau=(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)&\circ(1,8)(4,5)(2,7)(3,6)\\ & = (1,8)(4,5)(2,7)(3,6)\circ(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)\\ &= (1,6)(2,5)(3,8)(4,7)\\&=\rho,\end{align*}$$ estos tres, junto con la identidad de una forma Klein $4$-grupo. Estos son los cuatro que he descrito.
¿Hay otros? Una vez que usted decide donde los vértices 1 y 4 del mapa, todo lo demás llega forzado. 1 sólo tiene cuatro posibles ubicaciones, ya que la orientación no puede cambiar: 1 se asigna a sí mismo y de 4 a sí mismo; o 1 mapas 3 y 4 mapas a la 2, o 1 se asigna a 8 y 4 mapas a 5; o mapas 1 a 6 y de 4 a 7. Estos son los cuatro permutaciones anterior, así que es todo lo que hay; no es un grupo cíclico, porque tiene tres elementos de orden dos, por lo que es el Klein 4-grupo.
Sin embargo: 'Simetrías' a menudo incluye reflexiones (de manera que el diedro grupos incluyen no sólo las rotaciones, pero también las reflexiones). Si se incluyen reflexiones, además de las cuatro posibilidades anteriormente, se pueden también intercambio 1 y 4; mapa de 1 a 2 y de 4 a 3; mapa de 1 a 5 y de 4 a 8; o mapa de la 1 a la 7 y de 4 a 6. Los tres primeros, lo que se logra mediante la reflexión acerca de los planos de coordenadas ($xy$- plano, el $xz$-plano, y el $yz$-avión, en un poco de orden en función de cómo se está imaginando la caja), el cuarto por la reflexión sobre el origen. Esto le da a otros cuatro simetrías, y así el grupo corresponde a un grupo de orden $8$. No puede ser cíclico, ya que tiene el Klein $4$-grupo como un subgrupo; es un semidirect producto de la Klein $4$grupo a y el grupo cíclico de orden $2$.
