Ayudar a encontrar la forma cerrada:$\sum_{n=1}^{\infty}{m!\over n\cdot n(n+1)(n+2)\cdots(n+m)}$

Question

demostrar que y determinar la forma cerrada

$$\sum_{n=1}^{\infty}{m!\over n\cdot n(n+1)(n+2)\cdots(n+m)}=\sum_{n=1}^{\infty}{{1\over n} }\sum_{k=0}^{m}(-1)^k{m\choose k}{1\over (n+k)}$$

$m\ge0$

Yo:

Yo estaba observando el favorito de Euler suma

$$\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}{1\over n^2}$$

He encontrado los siguientes patrones. No puedo encontrar la forma cerrada.

$$\sum_{n=1}^{\infty}{0!\over n\cdot n}=\sum_{n=1}^{\infty}{{1\over n}\left({1\over n}\right)}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}{1!\over n\cdot n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}{{1\over n}\left({1\over n}-{1\over n+1}\right)}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}{2!\over n\cdot n(n+1)(n+2)}=\sum_{n=1}^{\infty}{{1\over n}\left({1\over n}-{2\over n+1}+{1\over n+2}\right)}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}{3!\over n\cdot n(n+1)(n+2)(n+3)}=\sum_{n=1}^{\infty}{{1\over n}\left({1\over n}-{3\over n+1}+{3\over n+2}-{1\over n+3}\right)}$$

Answer 1

Podemos hacer un parcial fracción de expansión del sumando de la siguiente manera. Empieza por escribir

$$\frac{m!}{n(n+1)\cdots(n+m)} = \sum_{i=0}^m \frac{A_i}{n+i}$$

Esta identidad tiene para todos los valores de $n$ no sólo números enteros. Para cualquier entero $k\in\{0,1,2,\ldots,m\}$ por lo tanto, podemos multiplicar por $n+k$ y tomar el límite de $n \to -k$ para obtener

$$A_k = \frac{m!}{(-k)(-k+1)\cdots(-2)(-1)(+1)(+2)\cdots(-k+m)} = \frac{m!(-1)^k}{k!(m-k)!} = (-1)^k{m\choose k}$$

La multiplicación de la identidad por encima de por $\frac{1}{n}$ y sumando más de $n=1,2,3,\ldots$ nos da el deseo de identidad

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{m!}{n\cdot n(n+1)(n+2)\cdots(n+m)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sum_{k=0}^m (-1)^{k}{m\choose k} \frac{1}{n+k}$$

Si es necesario, a continuación, podemos masaje en las formas alternativas

$$\sum_{k=0}^m (-1)^{k}{m\choose k} \frac{H_k}{k} = \sum_{k=m+1}^\infty \frac{1}{k^2} = \zeta(2) - \sum_{k=1}^m \frac{1}{k^2} = \psi^{(1)}(m+1)$$

donde $\psi^{(1)}$ es el trigamma función y $H_n$ es el número armónico.