Parametrización del tiempo de permanencia de un elemento en un subconjunto abierto

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico (Si sirve de algo, podemos suponer $X\subseteq\mathbb{R}^n$ ou $X$ siendo un colector liso) y $U\subseteq [0,1]\times X$ un subconjunto abierto.

¿Existe un mapa continuo $\mu\colon X\rightarrow (0,\infty)$ , de tal manera que si $(0,x)\in U$ se mantiene, entonces $(t,x)\in U$ es válida para todos los $0\le t\le \mu(x)$ ?

Answer 1

Como ya se ha señalado en un comentario de "1999", esto no es generalmente cierto ya que escrito, incluso para los espacios euclidianos. Por ejemplo, tomemos $X = \mathbb{R}$ y $U = \{ (t, x) \in [0,1] \times X \mid t < |x| \}$ .

Sin embargo, con algunas modificaciones menores obtenemos una declaración verdadera.

Dejemos que $X$ sea un espacio perfectamente normal y $U$ un subconjunto abierto de $[0, 1] \times X$ . Entonces hay un continuo $\mu: X \to [0, 1]$ tal que para todo $x$ para lo cual $(0, x) \in U$

• $\mu(x) > 0$ y

• $(t, x) \in U$ para todos $0 \le t \le \mu(x)$ .

Esto se deduce casi inmediatamente de los siguientes lemas.

Lema 1: Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y $U$ un subconjunto abierto de $[0, \infty) \times X$ . Entonces $f(x) = \min \{ t \in [0, \infty] \mid (t, x) \notin U \}$ define un semicontinuo inferior $f: X \to [0, \infty]$ .

Esbozo de prueba: $f$ está bien definida porque $[0, \infty]$ es compacto. Para la semicontinuidad inferior, basta con demostrar que si $f(x) > M$ , entonces existe una vecindad $V$ de $x$ tal que $f(y) > M$ para todos $y \in V$ .

Tenga en cuenta que $f(x) > M$ si $[0, M] \times \{x\} \subset U$ . Desde $[0, M] \times \{x\}$ es compacto, hay conjuntos abiertos $V \subset X$ y $W \subset [0, \infty)$ tal que $[0, M] \times \{x\} \subset W \times V \subset U$ . Entonces, para cada $y \in V$ tenemos $[0,M] \times \{y\} \subset U$ Por lo tanto $f(y) > M$ .

Lema 2: Dejemos que $X$ sea un espacio topológico perfectamente normal y $f: X \to [0, \infty]$ semicontinuo inferior. Entonces hay una continua $g: X \to [0, 1]$ tal que $g(x) = 0$ cuando $f(x) = 0$ y $0 < g(x) < f(x)$ cuando $f(x) > 0$ .

Esbozo de prueba: Para $n \in \mathbb{N}$ poner $F_n = \{ x \in X \mid f(x) \le 2^{-n} \}$ . Desde $F_n$ es cerrado hay una continua $g_n: X \to [0, 2^{-n-1}]$ tal que $g_n^{-1}[\{0\}] = F_n$ .

Poner $g = \sum_{n=1}^\infty g_n$ . Por convergencia uniforme, $g$ es continua, y tenemos $g^{-1}[\{0\}] = \bigcap_{n=1}^\infty F_n = f^{-1}[\{0\}]$ . Si $f(x) > 0$ hay un número entero mayor $n$ tal que $f(x) \le 2^{-n}$ . Entonces $x \in F_m$ para todos $m \le n$ Por lo tanto $$g(x) = \sum_{m=n+1}^\infty g_n(x) \le \sum_{m=n+1}^\infty 2^{-m-1} = 2^{-n-1} < f(x)$$ .