Determinar todos los $a,b,c\in \mathbb{Z}$ para el cual la ecuación de $(a^2+b^2)x^2-2(b^2+c^2)x-(c^2+a^2)=0$ tiene raíces racionales.. sé que $\Delta \ge 0$ $\sqrt{\Delta}$ debe ser racional.
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Algunos de los pensamientos que tenía sobre el problema:
El discriminante $\Delta$ tendrá que ser un cuadrado perfecto con el fin de tener racional raíces.
Dado $\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$, la solución se $x=\frac{-\beta \pm \sqrt{\beta^2-4\alpha \gamma}}{2\alpha}$. Desde que se definen los componentes de la $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Z}$, los componentes de $-\beta$ $2\alpha$ seguramente será enteros, sin embargo no estamos seguros acerca de si $\sqrt{\Delta}=\sqrt{\beta^2-4\alpha \gamma}$ será racional. Por lo tanto, como usted dice $\sqrt{\Delta}$ debe ser un elemento de $\mathbb{Q}$. Sin embargo, puede ser demostrado por todos los $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Z}$ que la única ocurrencias donde $\sqrt{\beta^2-4\alpha \gamma} \in \mathbb{Q}$ es al $\sqrt{\beta^2-4\alpha \gamma} \in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, podemos deducir que el $\beta^2-4\alpha \gamma$ debe ser un cuadrado perfecto.
Por lo tanto, puede utilizar este hecho para reducir nuestro problema.
Calcular el discriminante se obtiene: $$\Delta = 4(b^2+c^2)^2 + 4(a^2+b^2)(c^2+a^2)$$ $$\Delta = 4((b^2+c^2)^2 + (a^2+b^2)(c^2+a^2))$$
Podemos estar seguros de que las raíces siempre será real desde $\Delta \geq 0$ todos los $a,b,c \in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, este factor no limitar los posibles valores de $a,b,c$.
Debido a $\sqrt{\Delta}=2\cdot\sqrt{(b^2+c^2)^2 + (a^2+b^2)(c^2+a^2)}$, no necesitamos considerar toda la parte de $\Delta$, ya que el $2$ es un número entero. Por lo tanto, la única parte que no estamos seguros de que va a calificar nuestra ecuación cuadrática tener cuadrática raíces es lo que está dentro de la raíz.
Por lo tanto, indican lo que se está enraizada por $\Lambda=(b^2+c^2)^2 + (a^2+b^2)(c^2+a^2)$. $\Lambda$ debe ser un cuadrado perfecto.
Esto a la larga se expande a $\Lambda=a^4+b^4+c^4+a^2 c^2+a^2 b^2+3b^2 c^2$.
Puede ser útil para sustituir $A=a^2$, $B=b^2$ y $C=c^2$. Nota: $A,B,C$ tendrá que ser cuadrados perfectos.
Tratar de convertir esto en un modular la expresión: el cuadrado de un número entero es siempre congruente a $0$ mod $4$(cuando se entero es impar) o $1$ mod $4$ (cuando se entero es impar). Puede ser útil usar su expresión para$\Delta$, en este caso, ya que siempre será incluso para todos los $a,b,c \in \mathbb{Z}$, por lo que sólo $0$ mod $4$ será necesario considerar.
Tenga en cuenta que estos son sólo mis pensamientos, y yo estoy seguro de si esta metodología se obtiene un locus de soluciones para $a,b,c \in \mathbb{Z}$.
