¿Cómo resolver numéricamente la ecuación del calor para materiales compuestos con diferentes conductividades térmicas?

Question

Estoy resolviendo la ecuación del calor con condiciones de contorno dependientes del tiempo numéricamente en un sistema 2D usando el Régimen ADI . Para el propósito de esta pregunta, vamos a suponer una conductividad térmica constante y suponer un sistema 1D, por lo que $$ \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}. $$ Esto funciona muy bien, pero ahora estoy intentando introducir un segundo material. Éste difiere ligeramente en capacidad calorífica y densidad, pero tiene una conductividad térmica muy diferente y está unido al otro material por una interfaz aguda, es decir, un cambio escalonado en $\lambda$ .

¿Cómo debe tratarse esto numéricamente en el Régimen ADI ? Se me ocurren diferentes enfoques:

1. Trate los dos materiales como dominios independientes y conéctelos mediante una condición de contorno que calcule el flujo de calor que entra y sale de la interfaz en términos de temperatura al otro lado de la interfaz en el último paso de tiempo. Utiliza para ello una simple diferencia de avance a ambos lados de la interfaz.
2. Tratarlo como un dominio y utilizar una discretización muy fina cerca de la interfaz en comparación con el material homogéneo. Utilice un esquema como $$ \lambda_{left} \frac{T_i - T_{i-1}}{\Delta x_i} = \lambda_{right} \frac{T_j - T_{j+1}}{\Delta x_j}, $$ donde $i$ y $j$ son los puntos a la izquierda y a la derecha de la interfaz, en lugar de la IDA estándar para esos puntos.
3. Abandone la suposición de una conductividad térmica constante y utilice $$ \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial \lambda}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial x} + \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}. $$ Pero para ello hay que aproximar la derivada de lambda en la posición del escalón, es decir, introducir una anchura característica desconocida $s$ de la agudo interfaz. Supongo que la elección (más o menos arbitraria) de esta anchura influirá significativamente en el comportamiento del sistema.

¿Algún consejo?

Answer 1

La generalización de la ecuación del calor es, $$ \frac{\partial T}{\partial t}=\nabla\cdot\left(\alpha\nabla T\right) $$ Si $\alpha$ es espacialmente independientes, entonces podemos tire de ella fuera de la diferencial de operador y obtener su 1ª ecuación. Si $\alpha$ es espacialmente dependientes, entonces numéricamente en una dimensión, se han $$ \frac{T^{n+1}_i-T^n_i}{dt}=\frac1{dx^2}\left[\alpha_{i+\frac12}\left(T^n_{i+1}-T^n_{i}\right)-\alpha_{i-\frac12}\left(T^n_i-T^n_{i-1}\right)\right] $$ donde $$ \alpha_{i+\frac12}=\frac12\left(\alpha_{i+1}+\alpha_{i}\right) $$ y todos los demás términos tomar su significado normal. Extensión a 2D o implícita de que los métodos deben ser trivial desde aquí.