¿Qué es un ejemplo de un argumento de Transfinite?

Question

Yo estaba en un debate de hoy con un filósofo sobre el mérito de la técnica de "prueba por contradicción." Mencionó la Ley de Medio Excluido, en donde hemos (normalmente como los matemáticos) asumen que nos han P o No P. es decir, si se demuestra que no "No P", entonces debemos P.

Además a lo largo de la conversación, él menciona la prueba de Kolmogorov las tendencias hacia Intuitionist Lógica (donde la Ley de medio Excluido no se sostiene; es decir, que no se puede inferir p no no p). He localizado la fuente material de la prueba de Kolmogorov, "En el Principio del Medio Excluido", en el cual afirma:

...es ilegítimo utilizar el principio del medio excluido en el dominio de transfinito argumentos.

Además,

Sólo el finitary conclusiones de las matemáticas puede tener importancia en las aplicaciones. Pero el transfinito argumentos se utilizan a menudo para proporcionar una base para finitary conclusiones.

Además,

Vamos a demostrar que todos los finitary conclusiones obtenidas por medio de un transfinito el uso del principio del medio excluido son correctas y pueden ser probada, incluso sin su ayuda.

Mi pregunta: ¿Qué hace la prueba de Kolmogorov decir cuando él se diferencia finitary conclusiones de transfinito argumentos? Es decir, ¿cuál es un ejemplo de un número finito de conclusión, y lo que es un ejemplo de un correspondiente transfinito argumento?

(Fuente citada en la Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Andrey_Kolmogorov#Bibliography)

Answer 1

El uso de "transfinito" no es lo mismo que lo que ahora llamamos "transfinito de la inducción". Prueba de Kolmogorov básicamente significa "infinito".

Un ejemplo de el tipo de cosa que la prueba de Kolmogorov llama "medio excluido" es ahora llamado el "limitado principio de la omnisciencia" (LPO). LPO dice que si usted tiene alguna propiedad $P(n)$ de un número natural $n$, de modo que cada número tiene o no tiene la propiedad, entonces hay un número $m$ tal que $P(m)$ mantiene, o, para cada número $m$, $P(m)$ no se sostiene. En otras palabras, si $(\forall m)(P(m) \lor \lnot P(m))$$(\exists m)P(m) \lor (\forall m)\lnot P(m)$.

LPO es trivialmente cierto en la lógica clásica, pero no es trivial en intuitionistic sistemas. La mejor manera de entender esto es saber que cuando un intuitionist dice que existe un número con alguna propiedad, él o ella significa que él o ella ya tiene un ejemplo de un número específico, con esa propiedad. De modo LPO reclamaciones, en esta lectura, que hay un camino para determinar si $(\exists m)P(m)$ mantiene, por cualquier decidable propiedad $P$.

Matemáticos clásicos aceptará que, mientras ellos creen que la frase $(\exists m)P(m)$ es verdadero o falso, no tienen forma, en general, para decidir cual es el caso (en general). Para intuitionists, la falta de capacidad para decidir cual es el caso, significa que no se puede afirmar que el enunciado es verdadero, y no se puede afirmar que es falsa. Debido a su redefinición de la palabra "o", esto significa que ellos no pueden hacer valer la frase es verdadera o falsa.

El siguiente lugar para ir si usted es nuevo en esta área es el Brouwer-Heyting-Kolmogorov (BHK) interpretación de intuitionistic lógica. Que proporciona un camino para la formación clásica matemáticos para entender lo que intuitionists quieren decir cuando dicen ciertas cosas, incluyendo la forma en que redefinir los términos de "o" y "no existe".

Un ejemplo de lo que la prueba de Kolmogorov significa por "finitary conclusión" es una ecuación entre los números como $2^2 = 4$ o $0=1$. Él podría incluso aceptar ecuaciones con variables libres como $3x + 5x = 8x$ o $3^x \not = 4y$. Trabajando en la aritmética de Peano, sería posible hacer una prueba en la cual se termina con ese tipo de declaraciones, pero que se aplica LPO a lo largo del camino. Tal prueba no sería aceptable en intuitionistic lógica.

Hay "resultados de conservación" que demuestran que si las frases de una cierta forma se puede demostrar en la aritmética de Peano, entonces ellos son en realidad comprobable (posiblemente con diferentes pruebas) en intuitionistic Heyting aritmética. Esto es lo que Kolmogov se refiere cuando dice:

Vamos a demostrar que todos los finitary conclusiones obtenidas por medio de un transfinito el uso del principio del medio excluido son correctas y pueden ser probada, incluso sin su ayuda.

Answer 2

Creo que usted encontrará todas las respuestas (y mucho más) en la exposición muy legible por Thierry Coquand: contribución de Kolmogorov para la lógica intuicionista, en el libro de patrimonio de Kolmogorov en matemáticas.