Suma de cuadrados

Question

Recientemente he venido a través de este problema y, a pesar de que he pasado tiempo buscando una solución, no tengo ideas interesantes.

Vamos a los números $$x_1=25$$ $$x_2=2245$$ $$x_3=222445$$ y $x_n=22..244...45$ $n$ dígitos $'2'$ $n-1$ dígitos $'4'$

Demostrar que $x_n$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados perfectos para cualquier número natural $n\ge1$.

El primer impulso fue el de descomponer el número:

$$ x_n = 2 \times \left(10^{2n-1}+\dots+10^n\right) + 4 \times \left(10^{n-1}+\dots+10\right)+ 5$$ $$ x_n = 2 \times \frac{10^{2n}-10}{9} + 2 \times \frac{10^{n}-10}{9} + 5$$ $$ x_n = \frac{20}{9} \left(10^{2n-1} - 1 + 10^{n-1} - 1\right) + 5$$ De todos modos, esto no parece conducir a la buena pista. Un consejo o una sugerencia sería apreciado.

P. S. supongo que es por el Intercambio de la Pila aplicación de android, pero a pesar de que escribí algo en la primera línea ("Hola"), este no aparece en el post. Esto sucedió varias veces.

Answer 1

Estás en el camino correcto. Escribir todo como una fracción con denominador 9 y usar el hecho de que $10^n \equiv 1\pmod 3$ % todos $n \geq 1$.

Answer 2

\begin{align*} x_{n} &= \left( \frac{10^{n}+a}{3} \right)^{2}+ \left( \frac{10^{n}+b}{3} \right)^{2} \\ &= \frac{2(10^{2n})+2(a+b)10^{n}+a^{2}+b^{2}}{9} \end{align*}

La resolución de $$\left \{ \begin{array}{ccc} a+b &=& 1 \\ a^{2}+b^{2} &=& 5 \end{array} \right.$$

$$(a,b)=(2,-1),(-1,2)$$

Answer 3

Desde que usted mencionó específicamente ideas interesantes, he publicado esta respuesta - consulte la última sección

Esquema

Se excluye el caso de $25$$3^2 + 4^2$.

Reclamación

Para todos los otros números con $\color{blue}{n}$ $2$'s, $\color{blue}{n-1}$ $4$'s y $\color{blue}{one}$ $5$, que puede ser expresado como la suma de $2$ plazas, uno de los cuales es $\color{blue}{n-2}$ $6$'s.

Justificación

Como simplificado por OP, $x_n = \frac{1}{9} \times \{20(10^{2n-1} + 10^{n-1}) + 5\}$

Deje $t_n = 6 (1 + 10 + \ldots + 10^{n-2})$, luego

$x_n - t_n^2$ puede ser demostrado ser $(X + 3)^2/81$ donde $X = 42 \times 10^{n-1}$.

Los cálculos se puso un poco desordenado y así estoy excluyendo de aquí, pero uno puede comprobar, por $n = 2$ nos pondremos $(420 + 3)/9 = 47$ $47^2 + 6^2 = 2245$

Interesante

$$2245 = 47^2 + 6^2$$

$$222445 = 467^2 + 66^2$$

$$22224445 = 4667^2 + 666^2$$ y así sucesivamente, y eso es exactamente lo que hemos demostrado sans los detalles de algunos de los cálculos que pueden ser llenados por cualquier persona con el álgebra básica habilidades