Hom-functor preserva los retrocesos

Question

Estoy intentando demostrar que el hom-functor$Hom(A,-)$ conserva los retrocesos. Me quedé en mostrar singularidad. ¿Podría darme algunas pistas?

Answer 1

Considere algunos pullback$X \times_S Y$ en una categoría. Para mostrar que$\hom(A,-)$ lo conserva, tenemos que mostrar que el mapa natural$$\hom(A,X \times_S Y) \to \hom(A,X) \times_{\hom(A,S)} \hom(A,Y)$ $ es un isomorfismo. Mediante la construcción de retrocesos en$\mathsf{Set}$, el lado derecho es simplemente el conjunto de pares de mapas$A \to X$ y$A \to Y$, de modo que el diagrama$$\begin{array}{c} A & \rightarrow & X \\ \downarrow && \downarrow \\ Y & \rightarrow & S \end{array}$ $ es conmutativo. ¡Por lo tanto, el mapa es biyectivo por definición de un retroceso!

Answer 2

Supongamos que estás trabajando en $_R \text{Mod}$. En este caso, $\text{Hom}(X, \square)$ es un functor de $_R \text{Mod} \to \text{Ab}$. Probar esto si no tiene a su disposición.

Definir $T := \text{Hom}(X, \square)$ donde $X$ $R$- módulo.

Lema: Vamos a $f : B \to A$ $g : C \to A$ ser un diagrama en $_R \text{Mod}$. Es pullback existe y una construcción de hormigón es $(D, \alpha, \beta)$ donde $D = \{(b, c) \in B \oplus C : fb = gc \}$, $\alpha : D \to C$ se define por $(b, c) \mapsto c$ $\beta : D \to B$ está definido por $(b, c) \mapsto b$.

Prueba: Ejercicio.

Ahora vamos a $f : B \to A$ $g : C \to A$ ser un diagrama en $_R \text{Mod}$. Por el lema anterior, que es el retroceso existe y que podemos llamarlo $(D, \alpha, \beta)$ se define como la anterior. Queremos mostrar que $T(D)$ es un retroceso en $\text{Ab}$$Tf : TB \to TA$$Tg : TC \to TA$. Desde $\text{Ab} = _\mathbb Z \text{Mod}$, también sabemos que la construcción concreta de la retirada de $Tf, Tg$: llamar a $D' = \{(b', c') \in TB \oplus TC : (Tf)b' = (Tg)c'\}$.

Ahora vamos a utilizar la característica universal de la retirada: se observa que el $T\alpha : TD \to TC$ $T\beta : TD \to TB$ son tales que $Tf \circ T\beta = T(f \circ \beta) = T(g \circ \alpha) = Tg \circ T\alpha$ (como en la construcción de $D$ como la retirada de $f, g$ tenemos $f \circ \beta = g \circ \alpha$). Por lo tanto, por definición, de retroceso, no existe un único morfismos $\theta : TD \to D'$ tal que $\beta' \circ \theta = T\beta$$\alpha' \circ \theta = \alpha$.

Vamos a definir $\psi : TD \to D'$ tomando $\big(h : X \to D \big) \in TD = \text{Hom}(X, D)$ y la asignación de a $(\beta \circ h, \alpha \circ h) \in TB \oplus TC$. Es esta bien definida? es decir, es$(\beta \circ h, \alpha \circ h)$$D'$? Bueno, basta para mostrar que $(Tf)(\beta \circ h) = (Tg)(\alpha \circ h)$. Observar que $$T(f)(\beta \circ h) = f_*(\beta \circ h) = f \circ \beta \circ h = g \circ \alpha \circ h = g_* (\alpha \circ h) = (Tg) (\alpha \circ h)$$ as desired. (again, here we use that $f \circ \beta = g \circ \alpha$). Notice that if we have $h \en TD$, then $$\beta' \circ \psi (h) = \beta' (\beta \circ h, \alpha \circ h) = \beta \circ h = \beta_* (h) = (T\beta)(h)$$ which means $\beta' \circ \psi = T\beta$, and similarly $\alpha \circ \psi = T\alpha$.

Podemos concluir, por la singularidad de $\theta$ a partir de la asignación universal a la propiedad, que $\theta = \psi$. Ahora, es suficiente para mostrar que $\psi$ es un isomorfismo.

$\theta$ es inyectiva: Supongamos que $\theta(h) = (0, 0)$. Esto significa que $\alpha \circ h = 0$$\beta \circ h = 0$. Pick $x \in X$ e decir $h(x) = (c, d) \in D$. Observar que $\alpha \circ h(x) = c = 0$$\beta \circ h(x) = b = 0$. A la conclusión de que $h(x) = (0, 0)$. Por la arbitrariedad de $x$, a la conclusión de que $h = 0$ y, por tanto, $\theta$ es inyectiva.

$\theta$ es surjective: Pick $(b', c') \in D'$, lo que significa $b' \in \text{Hom}(X, B)$ $c' \in \text{Hom}(X, C)$ con la propiedad de que $f \circ b' = g \circ c'$. Ahora vamos a utilizar la asignación universal propiedad de la pulback de $f, g$ que no existe un único morfismos $h : X \to D$ tal que $\beta \circ h = b'$$\alpha \circ h = d'$. Es inmediato que $\theta(h) = (\alpha \circ h, \beta \circ h) = (b', c')$ y, por tanto, $\theta$ es surjective.

A la conclusión de que $\theta$ es un isomorfismo y por lo tanto $\text{Hom}(X, \square)$ conserva pullbacks.

Si su $\text{Hom}$ functor no era necesariamente de$_R \text{Mod}$$\text{Ab}$, este enfoque podría todavía ser recuperable.