Para obtener

Question

La extensión de campo $\mathbb{Q}[\sqrt{7+\sqrt{3}}]/\mathbb{Q}$ tiene un grado de cuatro y $\sqrt{7+\sqrt{3}}$ es un elemento primitivo.

Estoy interesado en dividir esto en dos sucesivas campo extensiones de grado 2, es decir,$\mathbb{Q}[\sqrt{7+\sqrt{3}}]/\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$$\mathbb{Q}[\sqrt{3}]/\mathbb{Q}$.

Me gustaría saber si puedo lindan con un elemento diferente de $\sqrt{7+\sqrt{3}}$ $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$en el fin de llegar a $\mathbb{Q}[\sqrt{7+\sqrt{3}}]$. Después de todo, $\sqrt{7+\sqrt{3}}$ ya es un elemento primitivo de la extensión completa.

En el caso de $\mathbb{Q}[\sqrt{2}+\sqrt{3}]/\mathbb{Q}$, por ejemplo, puedo elegir cualquiera de los unen a los dos elementos de la $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ o sólo el elemento primitivo $\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Así que lo que estoy buscando es el análogo a la segunda raíz cuadrada aquí.

Answer 1

Si $K$ es un campo, y $t$ no tiene raíz cuadrada de $K$, entonces la extensión de $K\subset K[\sqrt{t}]$ tiene el grado $2$.

Es sencillo demostrar que un elemento $a+b\sqrt{t} \in K[\sqrt{t}]$ genera la extensión si y sólo si $b\neq 0$.

De ello se desprende que los generadores de la extensión de $\mathbb{Q}[\sqrt{3}] \subset \mathbb{Q}[\sqrt{7 + \sqrt{3}}]$ son exactamente los números de la forma$a + b\sqrt{7+\sqrt{3}}$,$a,b\in\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$$b\neq 0$.

Todos estos tienen un grado $4$$\mathbb{Q}$, por lo que el literal de la respuesta a la pregunta es no. Sin embargo, el generador de $\sqrt{3}\sqrt{7+\sqrt{3}} = \sqrt{21 + 3\sqrt{3}}$ es una interesante opción que es equivalente a $\sqrt{7+\sqrt{3}}$, pero no trivial.

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Para ampliar Jyrki comentario, $\mathbb{Q}[\sqrt{7+\sqrt{3}}]$ está contenido en la extensión de Galois $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}[\sqrt{7+\sqrt{3}}, \sqrt{7-\sqrt{3}}]$, y corresponde a un no-normal subgrupo del grupo de Galois $D_8$.

(Nota: no Es difícil mostrar que el grupo de Galois es $D_8$, ya que cada fin de $8$ subgrupo de $S_4$ es isomorfo a $D_8$.)

Pero no un subgrupo normal de índice $4$ $D_8$ está contenida en un único subgrupo de índice $2$. De ello se desprende que $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ es la única intermedio de extensión de campo de $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}[\sqrt{7+\sqrt{3}}]$, por lo que en busca de cualquier cosa como una "segunda raíz cuadrada" es inútil.

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Tal vez es más fácil que todo eso. No podemos tener a $\mathbb{Q}[\sqrt{7+\sqrt{3}}] = \mathbb{Q}[\sqrt{3}, \sqrt{n}]$, porque el último es de Galois, mientras que el ex no.

Answer 2

Creo que el siguiente argumento muestra que el tipo de elemento que está buscando no existe.

Deje $u=\sqrt{7+\sqrt{3}}$$v=\sqrt{7-\sqrt{3}}$. Los ceros del polinomio $$ p(x)=(x^2-7)^2-3\en\Bbb{Z}[x] $$ se $\pm u$$\pm v$, lo $M=\Bbb{Q}(u,v)$ es una extensión de Galois de los racionales. Debe ser fácil de demostrar que $[M:\Bbb{Q}]=8$. Es tarde aquí, así que voy a omitir que, por ahora. El grupo de Galois $G$ actúa sobre las cuatro raíces fielmente, para que podamos identificar a $G$ como un subgrupo del grupo simétrico $S_4$. Por lo tanto, $G$ es un Sylow 2-subgrupo de $S_4$, así que tiene que ser $\cong D_4$. Tha asignación de $\sigma:v\mapsto -v,u\mapsto u,$ es el único no-trivial automorphism de $M$ que corrige todos los elementos de a $L=\Bbb{Q}(u)$.

Si nos identificamos $D_4$ como el grupo de simetrías del cuadrado, podemos ver que $\sigma$ debe corresponder a una reflexión w.r.t. una diagonal. Por lo tanto, $\sigma$ está contenida en un único subgrupo de orden $4$ (la generada por las reflexiones w.r.t. ambas diagonales). Por lo tanto, $\Bbb{Q}(u)$ tiene un único cuadrática de subcampo. La no existencia del elemento deseado de la siguiente manera a partir de este (ver mis comentarios).

El grupo $D_4$ tiene tres subgrupos de orden $4$, lo $M$ tiene tres cuadrática subcampos. Además de a $\Bbb{Q}(\sqrt3)=\Bbb{Q}(u^2)=\Bbb{Q}(v^2)$ tenemos $\Bbb{Q}(uv)=\Bbb{Q}(\sqrt{46})$, y por lo tanto también se $\Bbb{Q}(\sqrt{138})$. Estos implican $v$, por lo que no son los subcampos de $\Bbb{Q}(u)$.

Answer 3

A menos que me equivoco, el grado de $\Bbb Q( \sqrt{7+ \sqrt{3}})$$\Bbb Q$$4$, ¿verdad?

Cualquier intermedio campo sería cuadrática entonces, es decir,$\Bbb Q(\sqrt{n})$. Podría demostrar en este punto que el $a + b \sqrt{n} + c \sqrt{3} + d \sqrt{3 n} $ no puede ser igual a $\sqrt{7+\sqrt{3}}$.

Otro método es considerar Galois automorfismos. Si tal extensión existe, entonces el grupo de Galois sería generado por $\sqrt{3} \rightarrow - \sqrt{3}$, y lo mismo para $\sqrt{n}$, y supongo que los automorfismos de la extensión dada puede ser calculado y el grupo distinto es $(\sqrt{3} \rightarrow - \sqrt{3}$$\sqrt{7+\sqrt{3}} \rightarrow - \sqrt{7+\sqrt{3}}$, lo que demuestra que la surds de las extensiones deben ser puntos fijos de uno de los Galois automorfismos), pero ya es tarde^^.