$\newcommand{\ga}{\gamma}$ $\newcommand{\e}{\epsilon}$ Tengo la siguiente situación:
$(X,d)$ es un espacio métrico. $\gamma:[0,1] \to X$ es una de Lipschitz camino. La velocidad de $\gamma$ se define como $$ \nu_{\ga}(s):=\lim_{\e \to 0} \frac{d\left( \ga(s),\ga(s+\e) \right)}{|\e|}, $ $ $ si el límite existe.
Definir $g(t)=L(\ga|_{[0,t]})$, y asumir la $g'(t_0),\nu_{\ga}(t_0)$ existe para un determinado $t_0 \in [0,1]$. Es cierto que $g'(t_0)=\nu_{\ga}(t_0)$?
Nota:
Es un conocido teorema, que para cualquier Lipschitz camino de $\ga$, la velocidad de $\nu_{\ga}(t)$ existe para casi todos los $t$, e $L(\ga)=\int \nu_{\ga}(t) dt$ (Véase "Un curso de geometría métrica" por Burago,Burago y Ivanov, el teorema de 2.7.6).
De hecho, la prueba de realidad muestra que para casi todos los $t$, $g'(t),\nu_{\ga}(t)$ existen y son iguales. Estoy preguntando acerca de su igualdad en un solo punto (suponiendo la existencia).
Resultados Parciales:
$$g'(t)=\frac{d}{dt}L(\ga|_{[0,t]})=\lim_{\Delta t \to 0+} \frac{L(\ga|_{[0,t+\Delta t]})-L(\ga|_{[0,t]})}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0+} \frac{L(\ga|_{[t,t+\Delta t]})}{\Delta t} $$
$$ \ge \lim_{\Delta t \to 0+} \frac{d\left( \ga(t),\ga(t+\Delta t) \right)}{\Delta t} = \nu_{\ga}(t)$$
Así, hemos establecido $g'(t) \ge \nu_{\ga}(t) $.
La pregunta sobre la otra dirección de la que aún quedan restos.
En el caso especial, donde $X$ es un largo espacio, y $\gamma$ es una geodésica (he.e localmente una ruta más corta), tenemos que $d\left( \ga(t),\ga(t+\Delta t) \right)=L(\ga|_{[t,t+\Delta t]})$ (para lo suficientemente pequeño $\Delta t$), por lo que la igualdad, obviamente, sostiene.
Tal vez será más fácil de probar este para la longitud de los espacios, pero sin la suposición de que $\ga$ es una geodésica, no veo cómo ayuda.
