Producto $\sigma$ álgebra

Question

Considere la posibilidad de $\mathbb{R}$ $\sigma$- álgebra de conjuntos de Borel, y $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ con el producto $\sigma$-álgebra(ver pág.22 de 'Análisis Real - Gerald B. Folland'). Qué $[0,1]^\mathbb{R} \subset \mathbb{R}^\mathbb{R}$ pertenecen al producto $\sigma$-álgebra?

Answer 1

Reclamo: cada set $A$ $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ es de la forma $$A = \{f : f(x_1),f(x_2),\dots, f(x_n), \dots) \en \mathcal{B}(\mathbb{R}^\mathbb{N})\},$$ donde $\mathcal{B}(\mathbb{R}^\mathbb{N})$ es el producto de $\sigma$-álgebra en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ $\{x_i\}_{i=1}^\infty$ es contable.

En otras palabras, sólo podemos especificar un conjunto medible en countably muchos puntos. Esto de inmediato el rendimiento de su pregunta por una contradicción en el argumento: si $[0,1]^\mathbb{R}$ es medible y no vacío, contiene algunos $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y sólo se especifica en countably muchos puntos. Cambio $f$ en uno de los puntos que no se especifica de manera que no se encuentran en $[0,1]$ para obtener una contradicción a $f \in [0,1]^{\mathbb{R}}$.

Para ver el reclamo, aviso que si $\mathcal{E}$ es una familia de conjuntos, la colección de $\mathcal{C}(\mathcal{E})$ obtenido a partir de $\mathcal{E}$ a través de un número finito de aplicaciones de complementación y contables de la unión y la intersección es una $\sigma$-álgebra. En otras palabras, si asumimos w.l.o.g. que $\mathcal{E}$ contiene todos los complementos (es decir,$A \in \mathcal{E} \Rightarrow A^c \in \mathcal{E})$, ninguna de las $A \in \mathcal{C}(\mathcal{E})$ puede ser escrito como $$\{A : A = \cap_{i_1 \geq 1}\cup_{i_2\geq 1} \dots \cap_{i_n \geq 1} E_{i_1, \dots, i_n}, 1 \leq n < \infty, E_{i_1,\dots, i_n} \in \mathcal{E}\}.$$

En nuestro caso, el producto $\sigma$-álgebra en $\mathbb{R}^\mathbb{R}$$\sigma(\mathcal{E})$$\mathcal{E} = \{\pi^{-1}_x(A) : x \in \mathbb{R}, A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}$. Desde $\pi_x^{-1}(A) = \{f : f(x) \in A\}$ $\sigma(\mathcal{E}) \subset \mathcal{C}(\mathcal{E})$ cualquier $E \in \sigma(\mathcal{E})$ está especificado en la mayoría de los countably muchos puntos, como en la demanda.

Answer 2

Esto no tiene nada que ver con la closedness de $[0,1]$, pero es verdad que el $[0,1]^\mathbb{R}$ no está en el producto $\sigma$-álgebra $M$. Los generadores de $M$ son de la forma$\pi_x^{-1}(A)$$x\in \mathbb{R}$$A\subset \mathbb{R}$, donde la proyección de $\pi_x(f)=f(x)$. Lo $\pi_x^{-1}(A)$? Bueno, es el conjunto de todas las funciones de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$f(x)\in A$. Podríamos tomar la intersección de countably muchos de estos para obtener, por ejemplo, las funciones que se asignan $\mathbb{Q}\to [0,1]$, pero $[0,1]^{\mathbb{R}}$ sólo podría ser escrito como una multitud de intersección de estos conjuntos, que no está permitido en un $\sigma$-álgebra.