Límite exterior de forma compacta rango converge a cero

Question

Supongamos $f\in C^\infty(\mathbb{R})$ compacta está apoyado en $[-N,N]$, e $1\leq p<\infty$, e $K\in L^1(\mathbb{R})$$\int_\mathbb{R}K(x)\textrm dx=1$. Definir $$K_t(x)=\dfrac{1}{t}K\left(\dfrac{x}{t}\right).$$

De ello se deduce fácilmente que el $\int_\mathbb{R}K_t(x)\textrm dx=\int_\mathbb{R}K(x)\textrm dx=1$.

Estoy en el proceso de la prueba de la convergencia, y estoy a la izquierda para mostrar que $$\lim_{t\rightarrow 0}\int_{|x|>N+1}\left|\int_{\mathbb{R}}f(x-y)K_t(y)\textrm dy\right|^p \textrm dx=0.$$

¿Cómo puedo demostrar que?

Answer 1

Supongo que $K$ es no negativo y $N=1$. Usando la desigualdad de Jensen, es suficiente para probar que $$I_t:=\int_{\{|x|\gt 2\}}\int_\mathbb R |f(x-y)|^pK_t(y)\mathrm dy\mathrm dx\to 0\quad \mbox{as }t\to 0.$$ La sustitución de $s=y/t$ rendimientos $$I_t=\int_{\{|x|\gt 2\}}\int_\mathbb R |f(x-ts)|^pK(s)\mathrm ds\mathrm dx=\int_2^\infty+\int_{-\infty}^{-2}.$$

Desde el apoyo de $f$ está contenido en $[-1,1]$, obtenemos $$I_t=\int_{|y|\geqslant t^{-1}}K(y)\mathrm dy.$$