Una generalización de la aritmética y geométrico significa utilizar polinomios simétricos elementales

Question

Deje $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ser números reales positivos. Hace un tiempo me di cuenta de que si se forma el polinomio $$ P(x) = (x - a_1)(x-a_2) \cdots (x-a_n) $$ entonces:

• La media aritmética de $a_1, \ldots, a_n$ es el número positivo $m$ tal que $(x - m)^n$ $P(x)$ tiene el mismo coeficiente de $x^{n-1}$.
• La media geométrica de $a_1, \ldots, a_n$ es el número positivo $m$ tal que $(x - m)^n$ $P(x)$ tiene el mismo coeficiente de $x^{0}.$

Parece que este puede ser extendido: para cualquier $0 \le i \le n-1$, vamos a la $i$th significa ser el número de $m_i$ tal que $(x - m_i)^n$ $P(x)$ tiene el mismo coeficiente de $x^i$. (Alternativamente, se puede definir $m_i$ en términos de primaria simétrica polinomios.)

Por ejemplo, con tres variables $x, y, z$ tenemos \begin{align*} m_0 &= \sqrt[3]{xyz} \\ m_1 &= \sqrt{\frac{xy + yz + zx}{3}} \\ m_2 &= \frac{x + y + z}{3} \end{align*}

No estoy seguro de lo que califica algo como un "medio", sino $m_1$ es simétrica y se encuentra estrictamente entre el min y el max, y es probable que tenga otras propiedades. He aquí una cuestión más concreta:

Pregunta: Debe ser cierto que la $m_0 \le m_1 \le m_2 \le \cdots \le m_{n-1}$?

Answer 1

Denotan, $(\overline{a}) = (a_1,\cdots,a_n)$ $\displaystyle P(x) = \prod\limits_{k=1}^{n}(x - a_k) = x^n +\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k\binom{n}{k}u_k(\overline{a})x^{n-k}$

donde, $\displaystyle u_k(\overline{a}) = \dfrac{\sum\limits_{1\le j_1<\cdots< j_k \le n}a_{j_1}\cdots a_{j_k}}{\binom{n}{k}} = m_{n-k}^{k}$ (en la notación).

Tenga en cuenta que $P(x)$ $n$ bienes raíces en el intervalo de $\left[\min\limits_{i=1}^n\{a_i\},\max\limits_{i=1}^n\{a_i\}\right]$,

Por lo tanto $P^{(n-2)}(x) = \dfrac{n!}{2}(x^2 - 2u_1x + u_2)$ tiene dos raíces reales en ese intervalo, es decir, $u_1^2 \ge u_2$.

Del mismo modo aplicar la misma idea de la $(n-2)^{th}$ derivada del polinomio con raíces $\dfrac{1}{a_k}$, ($k = 1(1)n$)

Tenemos, $\displaystyle \frac{1}{\binom{n}{2}}\sum\limits_{i<j}a_ia_j \le \frac{1}{\binom{n}{1}^2}\left(\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}\right)^2 \implies u_{n-1}^2 \ge u_nu_{n-2}$.

Nos muestran, $u_{k-1}(\overline{a})u_{k+1}(\overline{a}) \le u_k^2(\overline{a})$$k = 2,3,\cdots,n-1$,

Podemos probar este resultado por inducción en $n$, supongamos que la desigualdad se cumple para cualquier $n-1$ los números reales positivos.

Tenemos $\displaystyle P'(x) = n\left(x^{n-1} + \sum\limits_{k=1}^{n-1}(-1)^k\binom{n-1}{k}u_k(\overline{a})x^{n-k-1}\right)$

Si las raíces de $P'(x)$$b_k$$k=1,2,\cdots,n-1$, (que son positivos reales por M. V. T.).

y definir $v_k = \dfrac{\sum\limits_{1\le j_1<\cdots< j_k \le n-1}b_{j_1}\cdots b_{j_k}}{\binom{n-1}{k}}$

A continuación, $\displaystyle P'(x) = n\prod\limits_{k=1}^{n-1}(x - b_k) = n\left(x^{n-1} + \sum\limits_{k=1}^{n-1}(-1)^k\binom{n-1}{k}v_kx^{n-k-1}\right)$

Por lo tanto, $u_k = v_k$ $k=1,2,\cdots,n-1$ y por la hipótesis de inducción sobre el número $(b_1,\cdots,b_{n-1})$ obtenemos $u_k^2 \ge u_{k+1}u_{k-1}$ $k = 2,\cdots,n-2$ y junto con $u_{n-1}^2 \ge u_nu_{n-2}$ completa la inducción.

Si tomamos el $k$th la desigualdad en la $k$th de alimentación y, a continuación, multiplique todas estas desigualdades para $k=1,\cdots,r$, obtenemos,

$u_1^2 u_2^4 u_3^6 \cdots u_{r-1}^{2r-2}u_{r}^{r-1}u_{r+1}^r \le u_1^2u_2^4\cdots u_r^{2r} \implies u_{r+1}^r \le u_{r}^{r+1}$ $r=1, \cdots,n-1$

Por lo tanto, $u_r^{1/r} = m_{n-r}$ formas no aumento de la secuencia.