Mostrar que para $n!/2 - p$, $p$ es el menor factor primo si $n > p$

Question

Al parecer, esto no está claro, así que aquí están algunos ejemplos:

$$3!/2 - 3$$ $$4!/2 - 3$$ $$5!/2 - 3$$

y $$5!/2 - 5$$ $$6!/2 - 5$$ ...

¿Cómo puedo probar esto?

Me pareció de una matriz generó a partir de la observación funciones de error.

Answer 1

Esto es cierto para todos los impares $p$, incluso cuando se $p$ no es un número primo. Desde $p$ divide $p$ sólo tenemos que demostrar que $p$ divide $\frac{n!}{2}$. Desde $p <n$, $p$ aparece como un factor en $n!$, y es todavía un factor en la $\frac{n!}{2}$ desde $p$ es impar (y no cancelados por el $2$ ). Esto puede no ser cierto en general si $p$ es incluso, desde la $\frac{3!}{2}-2=1$.

---

Con respecto a su último estado de cuenta:

$\frac{p!}{2}-p$ no es nunca un primer

Esto no debería ser una gran sorpresa, ya que $$\frac{p!}{2}+p=p\left (\frac{(p-1)!}{2}+1\right )$$ This is valid whenever $2$ divides $(p-1)!$, which happens as long as $p\geq 3$.

Answer 2

No se que esta pregunta requiere de más respuestas, pensé que sería la escritura de la práctica de las cancelaciones en TeX.

Bueno, dado $n > 5$, $n! = 2 \times 3 \times 4 \times \ldots \times n$. Hasta ahora nada que no se sepa ya, nada de lo que todavía no ha sido dicho. Entonces

$$\require{cancel} \frac{n!}{2} = \frac{\cancel{2} \times 3 \times 4 \times \ldots \times n}{\cancel{2}} = 3 \times 4 \times \ldots \times n.$$

Si $p$ es algunos de los mejores mayor que $3$ pero menos de $n$, lo que significa que aparece en algún lugar de las de continuación de puntos. Así que, a continuación,$$\frac{n!}{2} = p \times \frac{3 \times 4 \times \ldots \times \cancel{p} \times \ldots \times n}{\cancel{p}}$$ and therefore $$\frac{n!}{2} - p = p \times \left(\frac{3 \times 4 \times \ldots \times \cancel{p} \times \ldots \times n}{\cancel{p}} - 1 \right).$$ Clearly $$\gcd \left( \frac{3 \times 4 \times \ldots \times \cancel{p} \times \ldots \times n}{\cancel{p}}, \frac{3 \times 4 \times \ldots \times \cancel{p} \times \ldots \times n}{\cancel{p}} - 1 \right) = 1$$ and consequently $$\gcd \left( \frac{n!}{2}, \frac{n!}{2} - p \right) = p$$ and $$\textrm{lpf} \left( \frac{n!}{2} - p \right) = p.$$

Answer 3

Así que por "primera divisible" a lo que te refieres es lo que más comúnmente se conoce como "$p$ es el menor factor primo."

Claramente $p$ no es el menor factor primo de $n!$ si $p > 2$, ya que el $n!$ es divisible por $2$. Ni es el menor factor primo de $n!/2$ si $p \geq 5$ porque $n!/2$ está seguro de ser divisible por $2$ y $3$.

Restando cualquier factor principal de $n!$$n!/2$, se obtiene un número que es divisible por que prime, pero no por cualquiera de los otros números primos

Answer 4

La afirmación no es verdadera para $p=2$ $n=3$

Si $p$ es una extraña primer y $n\ge p$ $$p|( n!/2)$$ and $$p|p$$ thus $$p|(n!/2-p)$$

Por otro lado, si $$1<k<p\le n$$ then $$ k| ( n!/2) $$ but $k$ does not divide $p$

Por lo tanto $k$ no divide $(n!/2-p)$ , que es $$n!/2-p$$ first divides $p$

Answer 5

Es una simple cuestión de recordar lo $n!$ es. Es decir, dado lo suficientemente grande $n$,$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times (n - 1) \times n$. Por tanto, dada una extraña primer $p < n$, $\frac{n!}{2}$ también es divisible por $p$. También es divisible por otro impares primos menos de $p$, ya que el $\frac{n!}{2} = 3 \times \ldots \times (n - 1) \times n$.

Luego, obviamente,$$\gcd\left(n!, \frac{n!}{2}\right) = \frac{n!}{2}.$$ But $$\gcd\left(n!, \frac{n!}{2} - p\right) = p.$$ This tells us that $\ frac{n!}{2} - p$ is not divisible by any primes less than $p$, because $p$ no es divisible por los números primos.

Por ejemplo, dada $p = 7$,$8! = 40320$. La mitad de los que se 20160, que es divisible por 7, ya que, de hecho,$7 \times 2880 = 20160$. Pero también es divisible por 3 y 5.

Sin embargo, restar 7 de 20160 y tenemos 20153, que también es divisible por 7, pero obviamente no es divisible por 5, y no divisible por 3. De hecho, $7 \times 2879 = 20153$.