Obtener la ecuación de una elipse utilizando la constante y los focos

Question

Halla la ecuación de la elipse con los focos en (0,3) y (0, -3) para la que la constante referida en la definición es $6\sqrt{3}$

Así que estoy bastante confundido con este, sé que la respuesta es $3x^2+2y^2=54$ a través de ensayo y error, pero ¿hay alguna forma de resolverlo sin ensayo y error?

La constante a la que se refiere es la suma de las distancias de los focos ¿no? ¿Cómo la utilizo? He estado experimentando con la forma de obtener $6 \sqrt3$ de la ecuación como el uso de la fórmula de la distancia, etc. ¡Estoy un poco atascado con esto, ¿puede alguien explicar gracias!

Answer 1

La suma de las distancias a los focos es $6\sqrt{3}$ . Mediante la "fórmula de la distancia", esto se traduce en $$\sqrt{x^2+(y-3)^2}+\sqrt{x^2+(y+3)^2}=6\sqrt{3}.$$ Ahora vamos a moler. Reescribir como $$\sqrt{x^2+(y-3)^2}=6\sqrt{3}-\sqrt{x^2+(y+3)^2}.$$ Cuadrar ambos lados. Llegamos a $$x^2+(y-3)^2=108 -12\sqrt{3}\sqrt{x^2+(y+3)^2} +x^2+(y+3)^2.$$ Hay alguna cancelación. Después de la cancelación, podemos dividir por $12$ y llegar a $$\sqrt{3}\sqrt{x^2+(y+3)^2}=9+y.$$ Cuadra ambos lados de nuevo. De nuevo, hay alguna cancelación, y llegamos a $$3x^2+2y^2=54.$$

Answer 2

Dejemos que $(x,y)$ sea un punto de la elipse, entonces desde la definición $$\sqrt{(x-0)^2+(y-3)^2}+\sqrt{(x-0)^2+(y+3)^2}=6\sqrt{3}$$ $$\sqrt{x^2+(y-3)^2}+\sqrt{x^2+(y+3)^2}=6\sqrt{3}$$ $$2x^2+2y^2+18+2\sqrt{(x^2+(y+3)^2)(x^2+(y-3)^2)}=108$$ $$x^2+y^2+9+\sqrt{(x^2+(y+3)^2)(x^2+(y-3)^2)}=54$$ $$(x^2+y^2-45)^2=(x^2+(y+3)^2)(x^2+(y-3)^2)$$ $$(x^2+y^2)^2-90x^2-90y^2+45^2=x^4+x^2(y+3)^2+x^2(y-3)^2+(y^2-9)^2$$ $$2x^2y^2+y^4-90x^2-90y^2+45^2=x^2(2y^2+18)+y^4-18y^2+81$$ $$-90x^2-90y^2+45^2=18x^2-18y^2+81$$ $$108y^2+72x^2=36\cdot54$$ $$3x^2+2y^2=54$$

Answer 3

Obsérvese que la forma general de la ecuación de una elipse es $$\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1.$$ Tienes razón en que la constante que dan es la suma de las distancias a los focos, y fíjate que es $2a$ (¿por qué?). Esto significa que tenemos la ecuación $$\left(\frac{x}{3\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1.$$ Podemos utilizar el teorema de Pitágoras para resolver $b$ ya que sabemos cuál es el centro de la elipse y conocemos la suma de las distancias. Por lo tanto, resolviendo para $b$ da $$b=2\sqrt{(3-0)^2+(y-0)^2}=6\sqrt{3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.$$ Introduciendo estos valores, tenemos $$\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{18}=1\Longrightarrow 2x^2+3y^2=54.$$

Answer 4

Una elipse es la figura formada por todos aquellos puntos para los que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es una constante $=2a$ donde las longitudes de los ejes mayor y menor son $a,b$ respectivamente.

Así que si $(h,k)$ sea cualquier punto de la elipse, $$\sqrt{(h-0)^2+(k-3)^2}+\sqrt{(h-0)^2+(k+3)^2}=6\sqrt3$$

Al simplificar obtenemos, $$3h^2+2k^2=54$$

Así, la ecuación de la elipse es $$3x^2+2y^2=54$$

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Alternativamente,

como los focos $(0,\pm3)$ se encuentra en el eje mayor, su ecuación será $x=0$ .

Por lo tanto, el $Y$ el eje mayor.

Como el centro del punto medio de los focos, por lo tanto el centro será $\left(\frac{0+0}2,\frac{-3+3}2\right)$ es decir, $(0,0)$ el origen.

Según el problema planteado

$2a=6\sqrt3\implies a=3\sqrt3$

y como las coordenadas de los focos son $(0,\pm ae),$ $\implies ae=3\implies e=\frac1{\sqrt3}$

Lo sabemos, $b^2=a^2(1-e^2)=27\left(1-\frac13\right)=18$

Así, la ecuación de la elipse es $$\frac{(x-0)^2}{18}+\frac{(y-0)^2}{27}=1$$