El determinante de la matriz

Question

Supongamos que tenemos $n \times n$ matriz$A$$a_{i,j}={\rm gcd}(i,j)$. ¿Cuál es el factor determinante de la $A$?

Cualquiera de las ideas, de la gente?

Answer 1

Esta cantidad es el llamado Smith determinante y resulta ser $$\det A = \prod_{k = 1}^n \varphi(k),$$ donde $\phi$ es de Euler totient función. Smith original en papel es

H. J. S. Smith, En el valor de una cierta aritmética determinante, Proc. Londres Matemáticas. Soc. 7 (1875-1876), pp 208-212.

pero, a pesar de su edad, es cerrada. Un moderno (y ungated) explicación, que explota la descomposición LU, aparece, por ejemplo, en

Antal Bege, producto de Hadamard de MCD matrices, Acta Univ. Sapientiae, Mathematica, 1, 1 (2009), pp 43-49.

Más referencias aparecen en A001088, la OEIS entrada para la secuencia $$1, 1, 2, 4, 16, 32, 192, 768, \ldots,$$ cuyas $n$th entrada es el determinante $\det A$ de la $n \times n$ matriz.

Answer 2

El resultado es $$ \det(A)=\prod_{k=1}^n\phi(k). $$ vea aquí.