Laplace Fronteras Problema

Question

Considere la posibilidad de un límite dado por los vértices $(0,a)$, $(0,0)$ y $(1,0)$ (una forma de " L " límite).

El problema es encontrar la ecuación que pasa entre los extremos $(0,a)$ $(1,0)$ de longitud mínima que encierra un área especificada $A$.

Un caso trivial sería $A=a/2$, en cuyo caso la solución sería una línea.

Este es uno bidimensional de Laplace problema con dos límites (área y lenth) pero, ¿cómo puedo tratar de obtener una serie de soluciones para $A < a/2$?

Answer 1

La formulación es la siguiente: Maximizar $$L[y]=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y'\ ^2}\ dx$$ sujeto a $$A=\int_{x_1}^{x_2}y\ dx$$ Podemos utilizar multiplicadores de Lagrange para una nueva formulación, tales como $$G=\sqrt{1+y'\ ^2}+\lambda \ y$$ y la ecuación de Euler es $$\frac{\partial G}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial G}{\partial y'}=\lambda-\frac{d}{dx}\bigg(\frac{y'}{\sqrt{1+y'\ ^2}}\bigg)=0$$ donde la formulación de la $$\lambda-\frac{1}{\big(1+y'\ ^2\big)^{3/2}}=0$$ y se puede resolver para y como $$y[x]=\alpha \ x^2+\beta \ x +\gamma\qquad \alpha=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{\lambda^{2/3}}-1}$$ Para satisfacer las condiciones para pasar a través de los puntos de $(0,a)$$(1,0)$; y $A=\int_{x_1}^{x_2}y\ dx$ $$y[x]=(3a-6A)\ x^2+(6A-4a)\ x +a$$