Varianza Mínimo y Máximo de 2 iid Normal

Question

Deje $X$ $Y$ ser iid $\sim Normal(0,1)$

Deje $A=max(X,Y)$ $B=min(X,Y)$

¿Qué son los $Var(A)$$Var(B)$?

A partir de la simulación, llego $Var(A)=Var(B)$ aproximadamente 0.70.

¿Cómo puedo obtener este analíticamente?

Answer 1

Si usted puede convencer a sí mismo que $$ \max(X,Y) \desbordado{d}{=} -\min(X,Y), $$ luego de tomar la varianza en ambos lados le dará su respuesta.

Con respecto a la otra parte, usted probablemente tendrá que integrar con la mano.

Answer 2

Haciendo fuera el camino más largo, que generaliza a más de 2 iid Normales, aquí está la integral cálculos en madera de ARCE:

$EA^2 = $

2*int(z^2*1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=-infinity..z)*1/sqrt(2*Pi)*exp(-z^2/2),z=-infinity..infinity);

que es igual a 1.

$EA = $

2*int(z*1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=-infinity..z)*1/sqrt(2*Pi)*exp(-z^2/2),z=-infinity..infinity);

lo que equivale a $1/\sqrt{\pi}$.

Por lo tanto, Var(A) = $1-1/\pi = $0.68169... que está de acuerdo con mi simulación.

Por supuesto, Var(B) es idéntico.

Answer 3

Considerar el nivel normal de caso (ya que es trivial para generalizar). Deje $Z = \max(X,Y)$.

$F_Z(z)=P(\max(X,Y)\leq z) = P(X\leq z,Y\leq z) = \Phi(z)^2$

por lo tanto la obtención $f_Z(z)$ por la diferenciación.

Como para la expectativa, tenga en cuenta lo siguiente:

$\frac{d}{dx} \phi(x)\Phi(x) = -x\phi(x)\Phi(x) + \phi(x)^2$

Además tenga en cuenta que $\phi(x)^2$ puede ser escrito en términos de $a\phi(bx)$ para algunas constantes $a$$b$. Desde allí, usted debería ser capaz de demostrar que

$\int x\phi(x)\Phi(x)\,dx={\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Phi(x\sqrt{2})-\phi(x)\Phi(x)+C$
(si no lo muestre por la diferenciación ...)

Y tomando derivados de $x\phi(x)\Phi(x)$ usted debería ser capaz de utilizar los resultados anteriores para llegar a $E(Z^2)$.

.... O simplemente usa la tabla de integrales definidas aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_Gaussian_functions#Definite_integrals

con un poco de manipulación, creo que se puede hacer con la expectativa y la varianza a partir de ahí.