Evitar el exceso de pasos, que es el polinomio característico de la matriz de 7x7? Y ¿por qué?
\begin{pmatrix} 5&5&5&5&5&5&5\\5&5&5&5&5&5&5\\5&5&5&5&5&5&5\\5&5&5&5&5&5&5\\5&5&5&5&5&5&5\\5&5&5&5&5&5&5\\5&5&5&5&5&5&5\end{pmatrix}
Respuestas
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Como se dijo en los comentarios, el rango de esta matriz es $1$; por lo que se ha $6$ autovalores nulos, lo que significa que el polinomio característico será de la forma:
$p(\lambda)=\alpha\,\lambda^6(\lambda-\beta) = \gamma_6\,\lambda^6 +\gamma_7\,\lambda^7$
El Uso De Cayley-Hamilton:
$p(A)=\gamma_6\,A^6+\gamma_7\,A^7 =0$
El poder de esta matriz tendrá el mismo formato, un valor positivo para todos los elementos.
$B=\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1\end{bmatrix}$
$A = 5\,B$
$A^2 = 5^2\,7\,B$
$...$
$A^6 = 5^6\,7^5\,B$
$A^7=5^7\,7^6\,B$
$p(A) = (\gamma_6+35\,\gamma_7)\,B=0\Rightarrow\gamma_6=-35\gamma_7$
Por lo tanto tenemos: $\alpha=\gamma_7$ $\beta = 35$
$p(\lambda)=\alpha\,\lambda^6(\lambda-35)$
Thomas
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6040
Es fácil ver, que $v=(1,1,1,1,1,1,1)^T$ es un autovector de la matriz. Por el cálculo de la correspondiente autovalor es $35$ (sólo calcular el $Av$).
dado que el rango de la matriz es $1$ y tiene los autovalores con sus multiplicidades como ceros tiene que ser de la forma $p(t) = a t^6 (t-35)$ $a\neq 0$
Stephan Aßmus
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16
Aquí es una matriz de $P,$ las columnas son los vectores propios de la matriz. Tenga en cuenta que $P$ no es ortogonal, aunque las columnas son pares ortogonal. $$ P = \left( \begin{array}{rrrrrrr} 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 3 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right). $$
Las columnas de $P$ son de diferentes longitudes; longitudes $ \sqrt{7}, \sqrt{2}, \sqrt{6}, \sqrt{12},..$ Todo lo que es necesario realizar una matriz ortogonal $Q$ fuera de esto es la división de cada columna por su longitud.
