No tengo respuesta a sus preguntas, pero espero que pueda ayudar a orientarse. Sé un poco acerca de C*-algebra K-teoría, y menos sobre topológica de la K-teoría, por lo que tomar esto con un grano de sal.
El $K_0$ grupo de un (complejo) C*-álgebra $A$ se define como el grupo de Grothendieck de un conmutativa monoid de clases de equivalencia de las proyecciones en la matriz de álgebras de más de $A$. El $K_1$ $A$ puede ser definida como un grupo de clases de equivalencia unitaria de los elementos de la matriz de álgebras de más de $A$. (Los subíndices se utilizan en lugar de los superíndices porque el correspondiente functors son covariantes en lugar de contravariante.) Para definir con mayor $K_n$ grupos, "suspensiones" se utilizan. En esta configuración, la suspensión de la $SA$ $A$ se define a ser $C_0(0,1)\otimes A\cong C_0((0,1),A)$, lo que puede ser pensado como la C*-álgebra de continuo $A$valores de las funciones en la unidad de intervalo que se desvanecen en$0$$1$. Al $n$ es mayor que $1$, $K_n(A)$ se define a ser $K_{n-1}(SA)$. Resulta que esto es consistente con la $n=1$ de los casos, es decir, $K_1(A)$ es isomorfo a $K_0(SA)$. Bott periodicidad dice que $K_{n+2}(A)$ es isomorfo a $K_n(A)$ todos los $n$.
En la conmutativa caso, no es localmente compacto Hausdorff espacio de $X$ tal que $A$ es isomorfo a $C_0(X)$, el álgebra de valores complejos de funciones continuas en $X$ de fuga en el infinito. El homeomorphism clase de $X$ está determinado por $A$, y el isomorfismo de la clase de $A$ está determinado por $X$. Se puede considerar que el operador de la K-teoría de la $C_0(X)$ o el topológica de la K-teoría de la $X$. Resulta que los grupos son isomorfos: $K_n(C_0(X))\cong K^n(X)$.
El K-grupos no dicen nada, literalmente, sobre la dimensión de la C*-álgebra. Por ejemplo, el infinito dimensional C*-álgebra $C(S^2)$ de continuo complejo de funciones con valores en la $2$-esfera tiene K-grupos $K_0(C(S^2))=\mathbb{Z}^2$$K_1(C(S^2))=0$. Estos son los mismos que los de K-grupos de álgebra $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$ (que es el álgebra de complejo continuo de las funciones con valores en un $2$puntos discretos en el espacio).
Como un terminológica de lado, generalmente se hace una distinción entre algebraica de K-teoría y K-teoría de las álgebras de operadores.
Aquí hay algunas referencias. Para topológica de la K-teoría, ver Atiyah y Karoubi. Para el operador de la K-teoría, en orden creciente de dificultad y asumió el fondo, ver Wegge-Olsen, Rørdam et al., y Blackadar. Blackadar del libro es una maravillosa referencia y la más completa, mientras que los otros dos sirven como buenas introducciones. (Rørdam et al. es la que yo he estudiado.)
Alguna información sobre la relación entre las dos teorías puede ser adquirida en la luz de Cisne del teorema de equivalencia entre finitely generado proyectivas de los módulos a través de $C(X)$ y el vector de paquetes de más de $X$. A grandes rasgos, desde módulos proyectivos son sumandos directos de libre módulos, que corresponden a idempotents en el endomorfismo anillos de libre módulos, y en el C*-álgebra caso de que esto corresponde a las proyecciones en la matriz álgebra de operadores mencionados anteriormente. Cada uno de los operador K-teoría de los libros mencionados anteriormente incluye al menos un poco de material sobre la relación topológica de la K-teoría.
