Búsqueda de límite a través de un Sándwich Teorema: $\lim_{n\to\infty} n\sum_{n+1}^{2n} \frac{1}{i^2}$

Question

Pregunta: Utilizar el Teorema del Sandwich para encontrar $$\lim_{n\to ∞} n\sum_{n+1}^{2n} \frac{1}{i^2}$$

Agradecería cualquier orientación.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\frac1{i} - \frac1{i+1} = \frac{1}{i(i+1)} \leqslant \frac{1}{i^2} \leqslant \frac{1}{i(i-1)} = \frac1{i-1} - \frac1{i}$$

Sumando obtenemos

$$\frac{n}{n+1}- \frac{n}{2n+1} \leqslant n\sum_{i=n+1}^{2n}\frac{1}{i^2}\leqslant \frac{n}{n}- \frac{n}{2n},$$

y

$$\frac{n^2}{(n+1)(2n+1)} \leqslant n\sum_{i=n+1}^{2n}\frac{1}{i^2}\leqslant \frac{1}{2}.$$

Ahora aplicar apretando para encontrar el límite de $1/2$.

Answer 2

Observar que, $ x \mapsto \dfrac1{x^2}$ es decreciente, entonces

$$ \frac1{(i+1)^2} \leq\int_i^{i+1}\frac1{x^2}dx\leq \frac1{i^2},\qquad i=1,2,3,\cdots, $$ summing from $i=n+1$ to $i=2n$, $$ \sum_{k=n+1}^{2n}\frac1{i^2}+\frac1{(2n+1)^2}-\frac1{(n+1)^2}\leq\int_{n+1}^{2n+1}\frac1{x^2}dx\leq \sum_{k=n+1}^{2n}\frac1{i^2}. $$ y, por el teorema del sandwich, $$ \lim_{n \to \infty} n\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1{i^2}=\lim_{n \to \infty} n\int_{n+1}^{2n+1}\frac1{x^2}dx $$ Desde $$ n\int_{n+1}^{2n+1}\frac1{x^2}dx=\frac{n}{n+1}-\frac12 $$ usted obtener

$$ \lim_{n \to \infty} n\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1{i^2}=\frac12. $$