Es cierto que $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \cap \mathbb{Q}(i) = \mathbb{Q}$?

Question

Es cierto que $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \cap \mathbb{Q}(i) = \mathbb{Q}$?

Sé que \begin{align*} \mathbb{Q}(\sqrt{2}) &= \{a+b\sqrt{2} \mid a,b \in \mathbb{Q}\}, \\ \mathbb{Q}(i) &= \{a+bi \mid a,b \in \mathbb{Q}\} \end{align*}

Me inclino a creer que es, ya que cada elemento en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ pertenece a $\mathbb{Q}(i)$ fib $b=0$. También, un elemento en $\mathbb{Q}(i)$ pertenece a $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ fib $b = 0$.

Es más que suficiente para una prueba formal?

Answer 1

Bien, si usted realmente ha probado el bicondicional declaraciones que usted ha mencionado, entonces estás listo.

Alternativamente, muestran que $$\Bbb Q\subseteq\Bbb Q(i)\cap\Bbb Q\bigl(\sqrt2\bigr),$$ which I leave to you. Then, suppose $z\in\Bbb Q(i)\cap\Bbb P\bigl(\sqrt2\bigr).$ Since $z\in\Bbb P\bigl(\sqrt2\bigr),$ then $z\in\Bbb R.$ From there, we can use the fact that $z\in\Bbb Q(i)$ to readily show that $z\in\Bbb P,$ completar la prueba.

Answer 2

sí es cierto $Q\sqrt2$ $Q(i)$ son la extensión de grado $2$ $Q$ por lo que el grado de $Q(i)\cap Q(\sqrt2)$ 1 $2$, si es 2, esto implica que $Q(i)=Q(\sqrt2)$$\sqrt2=a+bi, a,b\in Q$, por escrito,$(\sqrt2-a)^2=-b^2$, se puede obtener $a=0$ si $\sqrt2\in Q$ un hecho que no es cierto. Si $a=0$, $\sqrt2=bi$ por lo tanto el $2=-b^2$ esto no es cierto también.