Hay un continuo versión de Möbius de la Inversión. Esencialmente, el uso de las integrales en lugar de sumas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El "divisor de convolución de dos funciones aritméticas $a_n$ $b_n$ es la función aritmética $(a\star b)(n) = \sum_{d \mid n} a_db_{n/d}$.
Si $\sum a(n) n^{-s} = L(a, s)$ es la serie de Dirichlet $a$, luego tenemos a la relación $$L(a, s)L(b, s) = L(a \star b, s).$$
En particular, la transformación de Möbius es $$L(\mu \star a, s) = L(a, s)/\zeta(s).$$
Podemos extraer que en su forma habitual mediante la comparación de los coeficientes de Dirichlet en ambos lados.
Una posible continua analógica de Dirichlet de la serie es el $L$-transformación (que no debe confundirse con la transformada de Laplace)
$$L(f,s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\mathcal{M}_f(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty f(x)\: x^{s} \frac{dx}{x}.$$
El análogo de la convolución es divisor
$$(f \star g)(x) := \int_0^\infty f(t)g(t/x) \frac{dt}{t}.$$
El análogo de la relación
$$L(a, s)L(b, s) = L(a \star b, s)$$
es la identidad
$$L(f, s)L(g,s) = L(f\star g, s).$$
Ahora, ¿cuál es una posible analógica de la función zeta?
Comentario: con el fin De extraer los "coeficientes de Dirichlet" de $L(f, s)$, tenemos que tomar una inversa Mellin transformar, porque queremos que la "$x$-ésimo coeficiente de Dirichlet" a $f(x)$...
