Triangular superior matrices (de Problemas)

Question

Si $T=\begin{bmatrix}A & C\\0 & B\end{bmatrix}$ es triangular superior con $A$ $B$ triangular superior ($C$ es arbitrario de la matriz), entonces ¿qué debe $R$ ser que:

$$ S^{-1}TS = \begin{bmatrix}A & 0\\0 & B\end{bmatrix} \,, $$ donde $S = \begin{bmatrix}I & R\\0 & I\end{bmatrix}$?

Mi intento

Traté de calcular el equivalente a la declaración de $TS = S\begin{bmatrix}A & 0\\0 & B\end{bmatrix}$ primera, lo que me dio:

$$ \begin{gather*} \begin{bmatrix}A & C\\0 & B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I & R\\0 & I\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}I & R\\0 & I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A & 0\\0 & B\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}A & AR+C\\0 & B\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A & RB\\0 & B\end{bmatrix} \\ \Rightarrow AR+C = RB \end{se reúnen*} $$ entonces estoy atascado. ¿Cómo puedo extraer de la matriz $R$ a partir de esto?

Creo que probablemente hay una necesidad de utilizar el hecho de que $A$ $B$ es triangular superior, pero no sé cómo. Tenga en cuenta que esta es la pregunta que se plantea, no tengo las dimensiones de cualquiera de las matrices.

Answer 1

El hecho de que $A,B$ son triangulares no es importante.

Suponemos que $A\in M_p, spectrum(A)=(\lambda_i)_{i\leq p},B\in M_q,spectrum(B)=(\mu_i)_{i\leq q}$.

La ecuación de $R\in M_{p,q}$ a resolver es $f(R)=RB-AR=C$; $f$ es una función lineal s.t. $spectrum(f)=(-\lambda_i+\mu_j)_{i,j}$. Por lo tanto $f$ es invertible IFF para todos $(i,j),$ $\lambda_i\not= \mu_j$; bajo estas condiciones, $R$ existe y es único.

Conclusión. Si $A,B$ no tienen en común los autovalores, a continuación, puede bloquear el sabio diagonalize $T$.

EDIT. Si $g,h\in L(M_{p,q})$ son definidos por $g(R)=RB,h(R)=AR$,$f=g-h$; de acuerdo a 1. y 2.2.1 en

https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_product#Abstract_properties

$spectrum(g)=(spectrum(B))^p,spectrum(h)=(spectrum(A))^q\subset \mathbb{R}^{pq}$; desde $g,h$ viaje, son simultáneamente triangularizable y $spectrum(f)$ es como los anteriores. Si $f$ no tiene autovalores cero, entonces es bijective.

No hay ninguna cerrado fórmula para $R$; sin embargo, para obtener el $R$ es suficiente para resolver un sistema lineal, que es elemental. Tenga en cuenta que si $f$ no es bijective y $C$ es elegido al azar, a continuación, $R$ no existe.