Automorfismos de un grupo y subgrupo

Question

Hay un número finito de $p$grupo $G$ tal que $G$ tiene menos número de automorfismos de algunos de los subgrupos: $$|\mbox{Aut}(G)|<|\mbox{Aut}(H)| \mbox{ for some }H\leq G.$$ Si hay un grupo, entonces puede suceder en algunos abelian $p$-grupo?

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Tal vez no nilpoent grupos $G$ la satisfacción de la condición anterior, ya que, durante mucho tiempo atrás, yo había visto un esfuerzo para ofrecer un ejemplo en Problemas en Teoría de grupos por John D. Dixon

El ejemplo de un no-nilpotent grupo $G$ e su $2$-subgrupo está aquí. Pero, mi pregunta es, dentro de la Categoría de $p$-grupos.

Answer 1

Si $H = C_2^3$ (primaria abelian de orden $8$), a continuación,${\rm Aut}(G) ={\rm GL}(3,2)$, que tiene orden de $168$.

Pero $G = D_8 \times C_2$ ($D_8$ significa diedro de la orden de $8$) contiene $H$ como un subgrupo, y $|{\rm Aut}(G)| = 64$. Lo hice por compoter de cálculo, pero no es difícil demostrar con la mano. El generador de $D_8$ orden $4$ mapa de la uner un automorphism a cualquier elemento de orden $4$ e hay$4$. Un generador de $D_8$ orden $2$ puede asignar a cualquier no-elemento central de la orden de $2$ e hay$8$. Finalmente, un generador de $C_2$ se asigna a una central generadora de orden $2$ que no está contenido en $D_8$, y $2$. Por lo $|{\rm Aut}(G)| = 4 \times 8 \times 2 =64$

Hay ejemplos similares en menos de $p=3,5,7$.

Me imagino que no hay abelian ejemplos, pero yo podría estar equivocado!