Quiero evaluar la integral: $$I=\int_{0}^{\pi/2}\ln \left ( \frac{(1+\sin x)^{1+\cos x}}{1+\cos x} \right )\,dx$$
Así, el sub $u=\pi/2-x$ no me da ningún resultado. De hecho, hace que la integral más complicado de lo que realmente es, a menos que no veo algo.
El método anterior es el único que he usado desde que no veo algo más en este punto. Cualquier ayuda será agradecida.
La idea en la que sigue es para simplificar el uso logarítmica de las identidades y, a continuación, deshacerse del desagradables integración utilizando la simetría de los límites. $$\begin{align} I&=\int_{0}^{\Large\frac\pi2}\ln \left ( \frac{(1+\sin x)^{1+\cos x}}{1+\cos x} \right )\,dx \\&=\int_{0}^{\Large\frac\pi2}[(1+\cos x)\ln(1+\sin x)-\ln({1+\cos x})]\,dx \\&=\int_{0}^{\Large\frac\pi2}[\cos x\ln (1+\sin x)+\ln(1+\sin x)-\ln({1+\cos x})]\,dx \\&=\int_{0}^{\Large\frac\pi2}\cos x\ln (1+\sin x)\,dx+\int_{0}^{\Large\frac\pi2}[\ln(1+\sin x)-\ln({1+\cos x})]\,dx \\&=\int_{0}^{\Large\frac\pi2}\cos x\ln (1+\sin x)\,dx \end{align}$$ en la que el segundo término desapareció porque $$\int_{0}^{\Large\frac\pi2}\ln(1+\sin x)\,dx=\int_{0}^{\Large\frac\pi2}\ln(1+\cos x)\,dx$$
Ahora la realización de la sustitución de $u=1+\sin x$, obtenemos
$$\begin{align} I&=\int_{0}^{\Large\frac\pi2}\cos x\ln (1+\sin x)\,dx \\&=\int_{1}^{2}\ln u\,du \\&=\bigg[u\ln u-u\bigg]_1^2 \\&=2\ln2-1. \end{align}$$
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