Reid de Pregrado de la Geometría Algebraica requiere muy poco de álgebra conmutativa; si no recuerdo mal, lo que se supone es tan básica que es más o menos lo que Eisenbud asume en su Álgebra Conmutativa!
El problema con la geometría algebraica es que es, en su forma moderna, esencialmente sólo se generalizado álgebra conmutativa. De hecho, en un sentido preciso, un esquema puede ser pensado como una generalizada anillo local. (La estructura de la gavilla $\mathscr{O}_X$ de un esquema de $X$ es un anillo local objeto de la gavilla topos $\textrm{Sh}(X)$ $\mathscr{O}_X$- módulo es, literalmente, un módulo sobre $\mathscr{O}_X$ en el topos.) Si usted está dispuesto a restringir el mismo a lisa complejo de variedades, a continuación, es posible utilizar principalmente complejo de métodos analíticos, pero de lo contrario, tiene que haber alguna entrada de álgebra conmutativa.
Dicho esto, no es necesario aprender todos de Eisenbud del Álgebra Conmutativa antes de iniciar la geometría algebraica. Clásicos de la geometría algebraica, en el sentido de que el estudio de cuasi-proyectiva (irreductible) variedades a través de una algebraicamente cerrado de campo, puede ser estudiado sin demasiado fondo en álgebra conmutativa (especialmente si usted está dispuesto a ignorar la dimensión de la teoría). Reid de Pregrado de la Geometría Algebraica, Capítulo I de Hartshorne de la Geometría Algebraica y el Volumen I de Shafarevich del Básico de la Geometría Algebraica todo el material de la cubierta de este tipo.
La moderna geometría algebraica comienza con el estudio de los esquemas, y ahí es importante tener un conocimiento exhaustivo de la localización, los locales de los anillos, y los módulos a través de ellos. Un esquema es un espacio localmente isomorfo a un afín esquema, y un afín esquema es esencialmente la misma cosa, como un anillo conmutativo. La teoría de los afín a los esquemas ya está muy rico – por lo tanto, los más de 800 páginas en Eisenbud del Álgebra Conmutativa! Para el esquema general de la teoría, la norma de referencia es el Capítulo II de Hartshorne de la Geometría Algebraica, pero Vakil la línea notas son, probablemente, mucho más legible. El volumen II de Shafarevich del Básico de la Geometría Algebraica también se analizan algunos esquema de la teoría. También vale la pena mencionar es Eisenbud y Harris de la Geometría de los Esquemas, que es un texto de fácil lectura acerca de la intuición geométrica detrás de las definiciones de esquema de la teoría.
Tal vez la pieza más importante de la tecnología moderna de la geometría algebraica es gavilla cohomology. Para esto, algunos antecedentes en álgebra homológica se requiere; por desgracia, álgebra homológica no es bastante en el ámbito de aplicación de álgebra conmutativa así que incluso Eisenbud trata muy brevemente. Los primeros capítulos de Cartan y Eilenberg del Álgebra Homológica dan una buena introducción a la teoría general pero es bastante más de lo que se necesita para los fines de la geometría algebraica. (Por ejemplo, permiten que sus anillos no conmutativos.) Los últimos capítulos de Lang Álgebra también cubre algunos de álgebra homológica. Capítulo III de Hartshorne de la Geometría Algebraica está dedicado a la cohomology coherente de las poleas (noetherian) esquemas.
