El ternario de Cantor conjunto es totalmente desconectados

Question

Un conjunto $S$ en un espacio métrico $X$ se llama totalmente desconectado si por cualquier distintos $x,y\in S$, no existe separado de los conjuntos de $A$ $B$ con $x\in A$, $y\in B$ y $S=A \cup B$.

Deje $C=\bigcap_{n=1}^\infty C_n$ ser el ternario de Cantor conjunto.

Dado $x,y \in C$$x\lt y$,$\epsilon=y-x$. Para cada una de las $n\in$ N, $C_n$ se compone de un número finito de la unión de intervalos cerrados. Explicar por qué ha de existir un N suficientemente grande, así que es imposible para $x$ $y$ ambos pertenecen al mismo intervalo cerrado en $C_N$.

Sé que el conjunto de Cantor es construido mediante la eliminación de la mitad abrir tercios para cada n. Y cada una de las $C_n$ $2^n$ cerrado intervalos. A medida que avanzas, los conjuntos cerrados obtener significativamente pequeño, así que es seguro asumir que para algunos N, $x$ $y$ "separados" en dos diferentes intervalos cerrados. No estoy seguro de cómo mostrar este formalmente, aunque.

Answer 1

Empiezo por el supuesto de que por la $C_n$ que te refieres a la habitual cerró conjuntos cuya intersección es el ternario de Cantor establece:

• $C_1 = [0,1]$;
• $C_2 = [0,\frac 13] \cup [ \frac 23 , 1 ]$;
• $C_3 = [0,\frac 19] \cup [\frac 29,\frac 13] \cup [\frac 23,\frac 79] \cup [\frac 89, 1]$;
• etc.

Tenga en cuenta que para cada una de las $n$ el conjunto $C_n$ se compone de distintos cerrado intervalos de longitud de $3^{-(n-1)}$, y que estos intervalos son, por tanto, separados unos de otros. También tenga en cuenta que si $x,y \in C_n$ son tales que $3^{-(n-1)} < |x-y|$, $x,y$ pertenecen a diferentes intervalos cerrados que componen $C_n$.

Dado distintas $x,y \in C$ básicamente por el de Arquímedes de la propiedad no debe ser un $n$ tal que $3^{-(n-1)} < |x-y|$, y como $x,y \in C_n$ se sigue que pertenecen a diferentes intervalos cerrados que componen $C_n$. Deje $I$ ser el intervalo cerrado en $C_n$ contiene $x$. De ello se desprende que $x \in C \cap I$$y \in C \setminus I$, y estos conjuntos están separados.