Cómo mostrar que $Y\cup_{f} X$ es normal al $X$ $Y$ son normales y $f:A\to Y$ es un mapa continuo con $A$ cerrado en $X$?

Question

He encontrado este problema en Bredon de la Topología y la Geometría.

Yo:

Deje $\pi: X\coprod Y\to Y\cup_{f}X$ ser el cociente mapa y vamos a $C$ $D$ ser dos distintos conjuntos cerrados en $Y\cup_{f}X$. Luego escribimos $\pi^{-1}(C)=C_{1}\coprod C_{2}$ $\pi^{-1}(D)=D_{1}\coprod D_{2}$ donde $C_{1}$ $D_{1}$ están cerrados en $X$ $C_{2}$ $D_{2}$ están cerrados en $Y$. A continuación,$C_{1}\cap D_{1}=\emptyset$$C_{2}\cap D_{2}=\emptyset$.

Ahora, la normalidad de $X$ nos da discontinuo abrir conjuntos de $U_{1}$ $V_{1}$ separación de $C_{1}$$D_{1}$, y la normalidad de $X$ nos da discontinuo abrir conjuntos de $U_{2}$ $V_{2}$ separación de $C_{2}$$D_{2}$. Ahora $\pi(U_{1}\coprod U_{2})$ $\pi(V_{1}\coprod V_{2})$ no sería distinto, abierto pone en $Y\cup_{f} X$ si y sólo si existe una fibra $f^{-1}(y)$ $f$ que se cruza con tanto $U_{1}$$V_{1}$.

Ahora no sólo podemos restar la problemática de las fibras de ambos $U_{1}$ $V_{1}$ como no podría ser infinitamente muchos y de la unión de un número infinito de conjuntos cerrados no necesita ser cerrado. Esto es donde estoy atascado. Por favor, ayudar.

Answer 1

Munkres' Topología (2ª Edición) contiene esta pregunta con un toque en los Ejercicios de $\S35.8$:

Deje $X$ $Y$ son disjuntas normal espacios, $A$ es cerrado en $X$, e $f\colon A\to Y$ es un mapa continuo. Utilizando el teorema de Tietze, muestran que $Y\cup_f X$ es normal.

Observe que $Y$ está incrustado como un subconjunto cerrado de $Y\cup_f X$, es decir, $\pi|_Y\colon Y\to \pi(Y)$ es un homeomorphism donde $\pi\colon X\amalg Y\to Y\cup_f X$ es el cociente mapa. ($\because$ $\pi|_Y$ es continuo, uno-a-uno, y cerrada, puesto que $A$ es cerrado). Por lo tanto, vamos a identificar a $Y$ con el subconjunto cerrado $\pi(Y)$$Y\cup_f X$. Entonces podemos escribir $y=\pi(y)$ todos los $y\in Y$, e $f(x)=\pi(x)$ todos los $x\in A$.

Prueba. Deje $C$ $D$ ser dos distintos subconjuntos cerrados en $Y\cup_f X$. Tenemos la pretensión de que existe una función continua $\tilde g\colon Y\cup_f X\to[0,1]\subset\mathbb{R}$ tal que $\tilde g(C)=\{0\}$$\tilde g(D)=\{1\}$. A continuación, $\tilde g^{-1}([0,1/3))$ $\tilde g^{-1}((2/3,1])$ son dos abiertos disjuntos pone en $Y\cup_f X$ contiene $C$$D$, resepectively.

Para construir un mapa de $\tilde g\colon Y\cup_f X\to[0,1]$, es suficiente para definir dos continuo de las funciones de $\tilde g_1\colon Y\to[0,1]$ $\tilde g_2\colon X\to[0,1]$ satisfacción $\tilde g_1(\pi(x))=\tilde g_2(x)$ para todos los $x\in A$. ($\because$ Bien definedness de $\tilde g$ sigue de la condición de $\tilde g_1(\pi(x))=\tilde g_2(x)$ todos los $x\in A$. La continuidad de la $\tilde g$ sigue de la definición del coeficiente de mapa de $\pi$: Para cualquier conjunto abierto $U\subset [0,1]$, $\tilde g^{-1}(U)$ está abierto a $Y\cup_f X$ si y sólo si $\pi^{-1}(\tilde g^{-1}(U))=\tilde g_1^{-1}(U)\cup\tilde g_2^{-1}(U)$ está abierto en $X\amalg Y$.)

Por otra parte, para satisfacer $\tilde g(C)=\{0\}$$\tilde g(D)=\{0\}$, debemos tener $$ \tilde g_1(y) = \begin{cases} 0 & \text{if %#%#%} \\ 1 & \text{if %#%#%} \end{casos} \quad\text{y}\quad \tilde g_2(x) = \begin{cases} 0 & \text{if %#%#%} \\ 1 & \text{if %#%#%} \end{casos} \etiqueta{*} $$

(1) $y\in C$ es normal, Urysohn del lema implica que existe una función continua $y\in D$ tal que $\pi(x)\in C$$\pi(x)\in D$.

(2) Definir $Y$ por $$ g_2(x) = \begin{cases} \tilde g_1(f(x))=\tilde g_1(\pi(x)) & \text{if %#%#%} \\ 0 & \text{if %#%#%} \\ 1 & \text{if %#%#%} \end{casos} $$ Es trivial comprobar que $\tilde g_1\colon Y\to[0,1]$ está bien definido y continuo. Desde $\tilde g_1(C\cap Y)=\{0\}$ es cerrado en el espacio normal $g_1(D\cap Y)=\{1\}$, el teorema de Tietze implica que $g_2\colon A\cup\pi|_X^{-1}(C)\cup\pi|_X^{-1}(D)\to[0,1]$ se extiende a una función continua $x\in A$ tal que $x\in\pi|_X^{-1}(C)$$x\in\pi|_X^{-1}(D)$.

(3) Para cualquier $g_2$,$A\cup\pi|_X^{-1}(C)\cup\pi|_X^{-1}(D)$. Así que sabemos que no es una función continua $X$. Por otra parte, (*) de la siguiente manera a partir de las definiciones de $g_2$$\tilde g_2\colon X\to [0,1]$.