La construcción de una SO(3) la rotación dentro de las dos de la UB(2) fundamental rotaciones

Question

Sabemos que dos de SU(2) fundamentos han multiplicación de descomposición, de tal manera que $$2 \otimes 2= 1 \oplus 3.$$ En particular, el 3 tiene una representación vectorial de SO(3). Mientras que el 1 es el trivial representación de SU(2).

Espero ver el preciso a fin de(3) la rotación de los dos SU(2) fundamental rotaciones.

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Así que primero vamos a escribir dos SU(2) fundamentales de los objetos en términos de un SO(3) objeto. En particular, podemos considerar los siguientes tres:

$$|1,1\rangle= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}= | \uparrow \uparrow \rangle,$$ $$|1,0\rangle ={1 \over \sqrt{2} } (\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix})={1 \over \sqrt{2} }(| \uparrow \downarrow \rangle+ | \downarrow \uparrow \rangle) ,$$ $$|1,-1\rangle = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}= | \downarrow \downarrow \rangle.$$

donde el $| \uparrow \rangle$ $\downarrow \rangle$ son en SU(2) fundamentos. Y nos shothand $| \uparrow \uparrow \rangle \equiv | \uparrow \rangle |\uparrow \rangle$ y así sucesivamente.

pregunta: ¿Cómo podemos rotar entre $|1,1\rangle$, $|1,0\rangle$, $|1,-1\rangle$, a través de dos SU(2) rotaciones actuando en dos SU(2) fundamentos? Es decir, que es, la construcción de una SO(3) la rotación dentro de las dos de la UB(2) fundamental rotaciones? El SU(2) tiene tres generadores, parametrizadas por $m_x,m_y,m_z$; de qué manera podemos escribir el TAN genérico(3) rotaciones de dos SU(2) rotaciones?

Veamos un ejemplo, un SU(2) la rotación $U$ que actúa sobre el SU(2) fundamentales $\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ dar lugar a $$U \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos(\frac{\theta}{2})+{i m_z} \sin(\frac{\theta}{2}) & (i m_x -m_y) \sin(\frac{\theta}{2}) \\ (i m_x +m_y) \sin(\frac{\theta}{2}) & \cos(\frac{\theta}{2})-{i m_z} \sin(\frac{\theta}{2}) \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos(\frac{\theta}{2})+{i m_z} \sin(\frac{\theta}{2})\\ (i m_x +m_y) \sin(\frac{\theta}{2}) \end{pmatrix} \equiv\cos(\frac{\theta}{2})+{i m_z} \sin(\frac{\theta}{2}) \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} + (yo m_x +m_y) \sin(\frac{\theta}{2}) \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$$

En otras palabras, el SU(2) la rotación $U$ ( $|\vec{m}|^2=1$ ) gira SU(2) fundamentos. Dos SU(2) rotaciones de actuar como $$UU|1,1\rangle = U \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}U \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\frac{\theta}{2})+{i m_z} \sin(\frac{\theta}{2})\\ (i m_x +m_y) \sin(\frac{\theta}{2}) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos(\frac{\theta}{2})+{i m_z} \sin(\frac{\theta}{2})\\ (i m_x +m_y) \sin(\frac{\theta}{2}) \end{pmatrix}$$

Sugerencia: Ingenuamente, como la que vamos a construir $$L_{\pm} =L_{x} \pm yo L_y,$$ such that $L_{\pm}$ is an operator out of two SU(2) rotations acting on two SU(2) fundamentals, such that it raises/lowers between $|1,1\rangle$, $|1,0\rangle$, $|1,-1\rangle$.

pregunta 2: ¿Es posible que dos SU(2) es imposible realizar tal MODO(3) rotaciones, pero necesitamos dos U(2) rotaciones?

Answer 1

La siguiente solución se origina a partir de la teoría geométrica de la cuantización. No voy a explicar toda la teoría detrás de esto, pero te voy a dar aquí la solución, a continuación, discutir brevemente cómo comprobar que esta es la solución que se requiere.

Un general $SU(2)$ grupo elemento fundamental de la representación puede ser escrita como: $$g = \begin{bmatrix} \alpha & \beta\\ -\bar{\beta}& \bar{\alpha} \end{bmatrix}$$ con $$|\alpha|^2+\beta|^2=1$$ Las tres dimensiones de espacio de Hilbert de la representación tridimensional puede ser parametrizadas por: $$\psi (z) = a + b z + cz^2 \quad (1)$$

donde $x$ es indeterminado

La acción de la $SU(2)$ en este espacio vectorial es dada por:

$$(g\cdot \psi)(z) = (-\bar{\beta} z + \bar{\alpha})^2 \psi( \frac{\alpha z + \beta}{-\bar{\beta} z + \bar{\alpha}}) \quad (2)$$

1. Para ver que esto es una representación, se puede comprobar que la composición de la acción de dos elementos del grupo coincide con la acción de su producto.
2. Para ver que esto es un fiel $SO(3)$ representación, pero no una fieles $SU(2)$, podemos ver fácilmente que el elemento no trivial del centro: $$g_c = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$ Tenemos para todos los $\psi$ $$(g_c\cdot \psi)(z) = \psi(z)$$
3. Aunque, la "esférica" de los componentes de $a, b, c$ son complejos. Para ver que la representación es real, uno puede ver que el "Cartesiano" componentes $(a+c), b, i^{-1}(a-c)$ transformar por medio de la real sólo combinaciones de $\alpha$$\beta$.

Answer 2

Tal vez el siguiente es útil:

1. OP eq. (1) se entiende como una relación entre el complejo de las representaciones de $SU(2)$, yo.e complejo de espacios vectoriales. Recordando que, en lo fundamental $SU(2)$ en representación ${\bf 2}\cong \overline{\bf 2}$ es isomorfo a la compleja conjugada de la representación, nos deja en lugar de considerar el isomorfismo $${\bf 2}\otimes \overline{\bf 2}~\cong~{\bf 1}\oplus {\bf 3}. \tag{A}$$

2. El lado izquierdo de la ecuación. (A) puede ser comprendido como el verdadero espacio vectorial $u(2)$ $2\times 2$ Hermitian matrices. El grupo $SU(2)$ actúa en $u(2)$ a través de la conjugación. Dado un spinor $| \psi\rangle\in {\bf 2}$, $${\bf 1}\oplus su(2)~\cong~ u(2)~\ni~| \psi\rangle \langle\psi | ~=~\frac{1}{2}\sum_{\mu=0}^3x^{\mu} \sigma_{\mu}, \qquad (x^0,x^1,x^2,x^3) ~\in~\mathbb{R}^4. \tag{B}$$ El triplete ${\bf 3}$ corresponde a la traceless parte, que es: $su(2)$. De ahí el spinor $| \psi\rangle$ representa el 3-vector $\vec{r}=(x^1,x^2,x^3)$. Ver también esta relacionada con Phys.SE post.