Si $\mu^{\ast}$ es una medida exterior con propiedad envolvente, $A_n \nearrow A$ , $\mu^{\ast}(A) = \lim_{n\to \infty}\mu^{\ast}(A_n)$

Question

Dejemos que $\mu^{\ast} : \mathcal{H} \to [0,\infty]$ una medida exterior, donde $\mathcal{H}$ es una herencia $\sigma$ -anillo. Supongamos que para cada $A \in \mathcal{H}$ existe un conjunto medible $E$ tal que $A \subset E$ y $\mu^{\ast}(A) = \mu^{\ast}(E).$ En este caso decimos que $\mu^{\ast}$ tiene el propiedad envolvente .

Demostrar que si una secuencia $\{A_n\} \subset \mathcal{H}$ es tal que $A_n \nearrow A$ entonces $$\mu^{\ast}(A) = \lim_{k \to \infty}\mu^{\ast}(A_k). $$

Intenté varias cosas ingenuas como:

Para cada $k$ hay $\tilde A_k$ medible tal que $A_k \subset \tilde A_k$ y $\mu^{\ast}(A_k) = \mu^{\ast}(\tilde A_k).$ Entonces, traté de mostrar que $\tilde A_k \subset \tilde A_{k+1}$ pero parece que no es cierto.

Entonces, consideré $\tilde A_N := \cup_{k=1}^N\tilde A_k$ . Es cierto que $\tilde A_N \supset \bigcup_{k=1}^N A_k$ pero no es necesariamente cierto que $$\mu^{\ast}(\tilde A_N) = \mu^{\ast}(\bigcup_{k=1}^NA_k),$$ por lo que no llevaba a ninguna parte.

¿Alguna pista?

Gracias de antemano.

Answer 1

En primer lugar, observe que $\lim_{n\rightarrow \infty}\mu^*(A_k)=L$ existe desde $\mu(A_k)$ es una secuencia real creciente. Dado que $\mu^*$ es monótona, $L\leq \mu^*(A)$ .

Para cada $k \in \mathbb N$ , dejemos que $\tilde A_k\supseteq A_k$ sea un conjunto medible tal que $\mu(\tilde A_k)=\mu(A_k)$ .

Para cada $k\in \mathbb N$ , dejemos que $B_k=\bigcap_{l\geq k}\tilde A_l$ . Cada $B_k$ es medible y $A_k\subseteq B_k\subseteq \tilde A_k$ (Obsérvese que si $l\geq k$ entonces $A_k\subseteq A_l\subseteq \tilde A_l$ Así que $A_k\subset B_k)$ . Desde $\mu^*$ es monótona, $\mu(A_k)=\mu(B_k)$ y $B_k$ es creciente. Entonces:

$$\mu^*(A)=\mu^*(\bigcup_{k \in \mathbb N}A_n)\leq \mu^*(\bigcup_{k \in \mathbb N}B_n)=\lim_{n \rightarrow\infty}\mu^*(B_n)=\lim_{n \rightarrow\infty}\mu^*(A_n)=L.$$