$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n}\cdot \big((m+1)(m+2) \ldots(m+n)\big)^{\frac{1}{n}}$ donde m es un entero positivo fijo es?

Question

$$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\cdot \big((m+1)(m+2) \ldots(m+n)\big)^{\frac{1}{n}}$$

donde $m$ fijo es un entero positivo.

Aquí va mi intento:

Según Cauchy teorema de límite si $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=l$ $\lim{(a_1a_2 \ldots a_n)}^{\frac{1}{n}}=l$

por lo tanto $\lim\limits_{n\to \infty}\frac {m+n}{n}$ $\Rightarrow lim_{n\to∞}(1+\frac{m}{n})=1$

Estoy al 90 por ciento claro que mi solución es correcta. Si no, entonces por favor dame la solución correcta.

Answer 1

Tenemos

$$\frac {1}{n}[{(m+1)(m+2)............(m+n)}]^\frac{1}{n}=\left[\frac{{(m+1)(m+2)............(m+n)}}{n^n}\right]^\frac{1}{n}=a_n^\frac1n$$

y por la relación de raíz criterios

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{{(m+1)(m+2)............(m+n+1)}}{(n+1)^{n+1}}\frac{n^n}{{(m+1)(m+2)............(m+n)}}=$$

$$=\frac{m+n+1}{n+1}\frac{1}{\left(1+\frac1n\right)^n}\to\frac1e \implies a_n^\frac1n\to \frac1e$$

Answer 2

Otra manera es tomar registros. Para $n\to \infty$ tenemos una integral de Riemann:

$$\ln S=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log(\tfrac{m+k}{n})\\ = \int_0^1 \ln(x) dx = -1$$

Así lo exige límite de es $e^{-1}$.