Demostrar la desigualdad de $n^{n^2-1} \leq e^{n^n-n}$ $n = 4, 6, 8, 10, \dots$

Question

Probar $\,n^{n^2-1} < e^{n^n-n}$ $n = 4, 6, 8, 10, \dots$

o

Demostrar $\,\dfrac {n^{n^2}}{e^{n^n-n}} <n$ $n=4, 6, 8, 10, \dots$

Estoy luchando con algunos de los problemas duros,
y si pruebo esta desigualdad, puedo hacer un resultado.

Es esta desigualdad verdadera?

(Ya he usado WolframAlpha para la comprobación de algunas de $n$, así que creo que esto es cierto.)

Muchas gracias.

Answer 1

Tomando logaritmos obtenemos el equivalente a la desigualdad $$(n^2-1)\ln(n)+n \leq n^n=e^{n\ln(n)}.$$ Ahora para $x\geq 0$, considerar la desigualdad de $e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\geq x+\frac{x^3}{3!}$. Entonces, para $n\geq 4$, $$e^{n\ln(n)}\geq \underbrace{n\ln(n)}_{\geq n}+\underbrace{\frac{n^3\ln^3(n)}{6}}_{\geq (n^2-1)\ln(n)}\geq n+ (n^2-1)\ln(n)$$

Answer 2

Sugerencia: tomando logaritmos en ambos lados obtenemos: $$(n^2-1)\ln(n)<n^n-n$ $ , así que conseguir $$0<\frac{n^n-n}{n^2-1}-\ln(n)$$ Now define $$f(n)=\frac{n^n-n}{n^2-1}-\ln(n)$$ y ahora un cálculo.