¿Cuánta solución tiene $1/a+1/b+1/c+1/d=1$ ¿tiene?

Question

De mi amigo, me da una pregunta de la competencia:

"¿Cuánta solución $(a,b,c,d)$ hace $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=1$ tienen donde $a,b,c,d$ son enteros positivos? (el tamaño de $a,b,c,d$ no importa, cualquiera de ellos puede ser el más grande o el más pequeño, y no son necesariamente distintos)"

Quiero preguntar si hay alguna solución más corta que la mía. Creo que la mía es demasiado larga, y tal vez dé una respuesta equivocada.

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Mi solución: WLOG, que $a\leq b\leq c\leq d$ $$1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\leq \frac{4}{a}$$ $$a\leq4$$ Porque $a=1$ no da ninguna solución, así que considera $a=2,3,4$

Caso 1: $a=2$ entonces $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{1}{2}$
Hazlo de nuevo: $\frac{1}{2}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\leq\frac{3}{b}$ Así que $b\leq 6$ .
Dejemos que $b=6$ entonces $\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{1}{3}$ , yendo a $$(c-3)(d-3)=9$$ $$(c,d)=(4,12),(6,6)$$ así que en el caso tienen: $(a,b,c,d)=(2,6,4,12),(2,6,6,6)$ entonces eliminar algún caso no satisfacer $a\leq b\leq c\leq d$
Entonces pasando por cuando $b=5$ , $b=4$ , $b=3$ ... rendimientos $184$ soluciones distintas.

Caso 2: Siguiendo el mismo procedimiento que en el caso 1... se obtiene $18$ soluciones.

Caso 3: Como en el caso anterior... sólo se obtiene una solución que es $(4,4,4,4)$

Concluyéndolo, la ecuación tiene $203$ soluciones.

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Esta es mi solución, la escribí utilizando una hoja y media de papel A4, recientemente he probado $abcd=abc+abd+acd+bcd$ pero no sé cómo continuar, ¿o debo usar el teorema de Vieta?
---Después de la primera edición---
De acuerdo con Robert Z, he contado mal el cuatrillizo $(3,4,4,6)$ que suman el recuento a $215$ soluciones.

-- Después de la última edición --
Parece que no hay una solución más rápida, voy a cerrar esta pregunta y marcarla como resuelta. Gracias a todos los que pasan el esfuerzo a mi pregunta.

Answer 1

En mi opinión, su enfoque está bien y no conozco un método más rápido.

Sin embargo, obtuve un número diferente de soluciones. Suponiendo que $a\leq b\leq c\leq d$ entonces

1) si $a=2$ y $b=3$ entonces $(c,d)$ puede ser $$(7,42),\;(8,24),\;(9,18),\;(10,15),\;(12,12).$$

2) si $a=2$ y $b=4$ entonces $(c,d)$ puede ser $$(5,20),\;(6,12),\;(8,8).$$

3) si $a=2$ y $b\geq 5$ entonces $(b,c,d)$ puede ser $$(5,5,10),\;(6,6,6).$$

4) si $a=3$ entonces $(b,c,d)$ puede ser $$(3,4,12),\;(3,6,6),\;(4,4,6).$$

5) si $a=4$ entonces $(b,c,d)=(4,4,4)$ .

Por lo tanto, al reordenar el $14$ soluciones ordenadas encontramos el número total de soluciones: $$6\cdot 4!+5\cdot \frac{4!}{2}+1\cdot \frac{4!}{2!2!}+1\cdot \frac{4!}{3!}+1=215.$$

Answer 2

La ecuación que se muestra a continuación tiene forma paramétrica:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=1$

$a=k(3-k)/2k$

$b=k(3-k)/k$

$a=3(k-3)/2k$

$a=3(k-3)/k$

Para $k=-7$ obtenemos $(a,b,c,d)=[5,10,(15/7),(30/7)]$

Answer 3

Hubo un error tipográfico en mi respuesta anterior de ayer para la siguiente ecuación:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=1$

Las variables (a,b,a,a) deben leerse como (a,b,c,d) y se muestra a continuación:

$a=k(3-k)/2k$

$b=k(3-k)/k$

$c=3(k-3)/2k$

$d=3(k-3)/k$

Por lo tanto, para $k=-7$ obtenemos:

$(1/5)+(1/10)+(7/15)+(7/30)=1$