Motivación detrás de la definición de Ideal de primer

Question

¿Alguien puede explicar ¿qué es la motivación detrás de la definición de un primer ideal?

O ¿por qué exactamente un primer ideal?

¿Tiene algo que ver lo números primos?

Answer 1

Ideales fueron originalmente definido en analogía con los números; de hecho, "ideal" se utiliza en lugar de Kummer "los números ideales" (en el que se introdujeron para proporcionar una especie de "factorización única" en el anillo de cyclotomic enteros $\mathbb{Z}[\zeta_p]$).

En este contexto, la filosofía general es traducir divisiblity declaraciones acerca de los números en las declaraciones sobre los ideales, ya que cada número corresponde a un ideal (el director ideal que genera), pero pueden ser ideales que no corresponden a "números reales" (la no-principal ideales).

En analogía con los números enteros, un número $p$ es primo si y sólo si $p\neq\pm 1$ e si $p|ab$, $p|a$ o $p|b$. En el ideal de la teoría de la configuración, la divisibilidad es equivalente a la de contención, por lo que la condición sería traducido a " $(p)\neq (1)$ $(ab)\subseteq (p)$ implica $(a)\subseteq (p)$ o $(b)\subseteq (p)$." Movimiento de la directora general de ideales, podemos decir que el ideal de $P$ es primo si y sólo si $P\neq R$ e si $AB\subseteq P$, entonces cualquiera de las $A\subseteq P$ o $B\subseteq P$.

A partir de aquí, una vez que la noción de anillo fue generalizada lejos de los anillos de enteros de los campos de número, la idea se mantuvo.

(Para anillos conmutativos, la definición es equivalente a la afirmación "si $ab\in P$, $a\in P$ o $b\in P$ ", pero para no conmutativa anillos de esta condición es más fuerte; es decir, si un ideal que satisface el elemento de la teoría de la versión, entonces es primo; pero puede ser el primer y el no satisfacer el elemento de la teoría de la versión; por ejemplo, en el anillo de $2\times 2$ matrices de más de $\mathbb{R}$, el trivial ideal $(0)$ es primo, pero sin duda hay pares de matrices, ninguno de ellos la matriz cero, cuyo producto es la matriz cero.)

Addendum. Aquí es cómo Dedekind ponerlo en el Sur la Théorie des Nombres Entiers Algébriques (1877), traducido como la Teoría Algebraica de números Enteros por John Stillwell, Cambridge University Press, 1966:

[L]et $\Omega$ ser un campo finito de grado $n$, y deje $\mathfrak{o}$ ser el dominio de los números enteros $\omega$$\Omega$. Un ideal de este dominio $\mathfrak{o}$ es un sistema de $\mathfrak{a}$ de los números de $\alpha$ $\mathfrak{o}$ con las dos propiedades siguientes:

I. La suma y diferencia de dos números cualesquiera en $\mathfrak{a}$ también pertenece a $\mathfrak{a}$; es decir, $\mathfrak{a}$ es un módulo.

II. El producto $\alpha\omega$ de cualquier número de $\alpha$ $\mathfrak{a}$ con un número de $\omega$ $\mathfrak{o}$ es un número en $\mathfrak{a}$.

...

Decimos que un ideal $\mathfrak{m}$ es divisible por un ideal $\mathfrak{a}$, o que es un múltiplo de a $\mathfrak{a}$, cuando todos los números en $\mathfrak{m}$ también están en $\mathfrak{a}$.

...

Finalmente hemos de remarcar que la divisibilidad de los principales ideales $\mathfrak{o}\mu$ por el director ideal $\mathfrak{o}\eta$ es completamente equivalente a la divisibilidad del número de $\mu$ por el número de $\eta$. Las leyes de la divisibilidad de los números en $\mathfrak{o}$ son por lo tanto incluidas en las leyes de la divisibilidad de los ideales.

...

Ideal $\mathfrak{op}$ se llama prime cuando es diferente de $\mathfrak{o}$ y divisible por ningún ideales con la excepción de$\mathfrak{o}$$\mathfrak{p}$.

Más tarde, Dedekind demuestra que, en este contexto, $\mathfrak{m}\subseteq \mathfrak{n}$ si y sólo si existe $\mathfrak{r}$ tal que $\mathfrak{n}\mathfrak{r}=\mathfrak{m}$, estableciendo el vínculo entre la "divisibilidad" en términos de inclusión, y divisibilidad en los términos de la multiplicación, que tiene en estos tipos de anillos, pero no en general. Él la llamó, la parte más difícil del desarrollo.

Answer 2

Arturo respuesta es genial, me gustaría añadir algunas perspectivas (al menos en la conmutativa caso) que, posiblemente, puede arrojar algo más de luz sobre el tema. Para empezar, es obvio que si $x$ es un elemento de a (conmutativa) anillo de $R$ $a$ $b$ son múltiplos de $x$ sin duda $a + b$ es un múltiplo de a $x$, e igualmente si $a$ es un múltiplo de a $x$ $b$ es cualquier elemento, a continuación, $ab$ es un múltiplo de a $x$. Esto significa que el conjunto de los múltiplos de $x$ es cerrado bajo la suma y la multiplicación por cualquier elemento del anillo. Esto significa, precisamente, que este conjunto es un Ideal, es decir, el director ideal generado por a $x$. Ahora, podemos ver la definición de propiedades de un ideal, como una axiomatization de la noción de "un conjunto de múltiplos de algo" sin referencia a ese misterioso "algo". En la Sección, cada una de estas ideal es de hecho un conjunto de múltiplos de un elemento del anillo, pero en el más general de los anillos, que no son principales ideas que de manera informal se corresponden a múltiplos de un "elemento ideal", que es sólo una metáfora y no un elemento real del anillo. Una de las bondades de este concepto viene de la observación de que elementos ideales tienen "DPC". si $a$ $b$ son elementos de un PID (por ejemplo,$\mathbb{Z}$), a continuación, el ideal generado por a $a$ $b$ es, precisamente, el principio ideal generado por su máximo común divisor. Pero en el más general de los anillos, esto puede no ser un director ideal (lo que es equivalente, $a$ $b$ no tiene un máximo común divisor), y en esta situación, todavía podemos pensar que es el ideal generado por el "número ideal" que corresponde a lo que debe ser el MCD de a$a$$b$.

OK, así que ¿cuáles son los principales ideales de entonces? naturalmente, esos son los "número ideal" analogías de los números primos. En algunos de los más importantes de los anillos para el número de la teoría algebraica de números de los anillos o de dominio de dedekind es general) no han única factorización de números, pero no tiene factorización única para "iedal números" en "prime los números ideales".

Me gustaría añadir que aunque creo que este es el marco histórico de la intuición y de una buena a tener en cuenta, es el "aritméticamente mente". el concepto de ideales y el primer ideales fundamentales en general conmutativa anillos que son muy diferentes de los que se encuentra en el clásico de la teoría algebraica de números y, en particular, de las dimensiones superiores (lo que significa). Es importante observar que no es otra y muy diferente de la intuición detrás de la idea de ideales. para un anillo de funciones de algunos de los objetos geométricos a un campo, el conjunto de funciones de fuga en un punto específico, es un ideal (comprobar!). la noción de primer ideales también puede ser alcanzado a través de la búsqueda de una adecuada reconstrucción de los "puntos" de la geometría del objeto sobre el que nos gustaría pensar que los elementos de nuestra resumen anillo actúan como funciones. El resultado final de esta filosofía y la unificación de la misma con la aritmética uno es el enfoque moderno de la expresión algebraica de la geometría a través de la noción de los esquemas.