Independencia lineal de funciones de los indicadores

Question

Pregunta

Deje $X$ ser un conjunto finito, vamos a $\mathbf{F}$ ser un campo. Deje $\mathcal{A}$ ser un subconjunto de el juego de poder de $X$, es decir,$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(X)$. Deje $1_A:X\to F$ denotar la función de indicador de $A\subseteq X$. Cuando se $\{1_A:A\in\mathcal{A}\}$ linealmente independientes en el espacio vectorial $\mathbf{F}^X$?

La potencial dificultad

Desafortunadamente, esto parece depender de la característica de $\mathbf{F}$. Por ejemplo, si $X=\{a,b,c\}$ $\mathcal{A}$ se compone de todos los dos elementos, subconjuntos de a$X$, $\{1_A:A\in\mathcal{A}\}$ es dependiente de al $\mathrm{char}(\mathbf{F})=2$, pero independiente de lo contrario.

Respuesta parcial

Todo lo que puedo decir hasta ahora es que el $\mathcal{A}$ no puede contener una inclusión-exclusión de la familia por que me refiero a una colección de la forma $$\{A,B,A\cap B, A\cup B\}\text{ or}$$ $$\{A,B,C,A\cap B, A\cap C, B\cap C, A\cap B\cap C, A\cup B \cup C\} \text{ or so on}.$$

Answer 1

Primero, observe que el indicador de función de singleton conjuntos de siempre constituye una base para el espacio, (por ejemplo, $1_{\{a\}},1_{\{b\}},1_{\{c\}}$ es una base para $F^X$ (independientemente de $F$)). Ahora vio que $X = \{x_1,\dots,x_n\}$.

Para una función de $f \in F^X$, entonces podemos pensar en él como un vector columna $\begin{bmatrix}\ f(x_1)\\ \vdots \\ f(x_n) \end{bmatrix}$. En este caso, si $e_i$ $\text{i}^{\text{th}}$ estándar de la base de vectores para $F^n$, entonces cada una de las $e_i$ corresponderá a $1_{x_i}$.

El uso de esta base, un conjunto de funciones de los indicadores serán linealmente independientes, siempre que la columna de vectores son linealmente independientes.

Así, podemos ponerlas en una matriz de fila y de reducir a la prueba de independencia. Tomando su ejemplo, los correspondientes vectores columna será de $ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ and $ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$. We can put these into a matrix to get and reduce only working with integers (Don't multiply row by non-unit constant however). In this case, we get $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ which we can reduce to $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$. We then know that in characteristic $2$, the third entry actually became $0$ y por lo tanto los vectores no son linealmente independientes, pero en otras características, que son linealmente independientes.