Homeomorphism de Cociente Espacio

Question

Yo soy relativamente nuevo en la topología y pensé que uno debe ser capaz de demostrar las siguientes: Deje $X = A \cup B$ ser un espacio topológico y $A,B \subset X$ (tal vez necesitamos que sean subespacios cerrados?). A continuación,$X/A \cong B/(A \cap B)$.

Esto al menos parece bastante intuitiva, pero yo realmente no sé cómo probar que. Una sugerencia/solución sería increíble!

Traté de algo a lo largo de las líneas de:

Desde $X = A \cup B$, la identidad en X produce un homeomorphism $X \cong A \cup B$. Esto induce a una homeomorphism $X/A \cong (A \cup B)/A$. Ahora me gustaría que la unión el respeto de los cocientes, que $(A \cup B)/A \cong A/A \cup B/(A \cap B)$. Ahora el lado izquierdo del espacio es un singleton y que tipo de conseguir lo que quiero.

Answer 1

Primero vamos a ir de nuevo a la definición. Si $A$ es un subconjunto de a $X$, vamos a $\sim_A$ ser la relación de equivalencia en $X$ definido por $$ x \sim_A y \ffi \text{$x =y$ o ( $x\in A$ $y \in A$)} $$ Esto está bien definido, incluso si $A$ es el conjunto vacío. Ahora, el cociente del espacio de $X/A$ es, por definición,$X/{\sim_A}$. Deje $0$ denota la clase de equivalencia $[A]$$\sim_A$. Entonces, como un conjunto, $$ X/{\sim_A} = \begin{cases} X & \text{if %#%#% is empty}\\ (X - A) \cup \{0\} & \text{if %#%#% is nonempty} \end{casos} $$ El abierto de subconjuntos de a $A$ son subconjuntos de a $A$ abierta en $X/{\sim_A}$ y los subconjuntos $X-A$ tal que $X$ está abierto en $U \cup \{0\}$.

Volviendo a tu pregunta. Desde $U \cup A$, se pone en $X$. Por lo tanto, como conjuntos, $X = A \cup B$ $X - A = B - (A \cap B)$ son iguales a $X/A$ si $B/(A \cap B)$ está vacía y a $B$ lo contrario. También son isomorfos como espacios topológicos: el open de conjuntos en ambos casos, los conjuntos de $A \cap B$ o $(B - (A \cap B)) \cup \{0\}$ tal que $U$ está abierto en $U \cup \{0\}$.