¿Por qué es un espacio de probabilidad por lo general nunca explícitamente por escrito?

Question

En probabilidad, un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ es generalmente nunca se expresó explícitamente y sólo nos llevan a este 'misterioso' cosa en el fondo (que satisface ciertos axiomas).

¿Por qué es este el caso?

Especialmente en tiempo continuo/modelos financieros, se asumen $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ es cierta probabilidad de espacio y, a continuación, definimos las variables aleatorias o procesos estocásticos.

Es porque la probabilidad de espacio no es realmente tan importante. Por ejemplo, podemos querer a un modelo de precios de los activos de proceso en un intervalo $[0,T]$ $S_t$ - un estándar (empezando en 0) 1 dimensiones el movimiento browniano (este no es un buen modelo) en $[0,T]$.
Y así acabamos el modelo de la totalidad de la cosa por decir que $S_t$ ser un estándar 1 dimensiones el movimiento browniano en cierta probabilidad de espacio $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$.

Así en la vida real ¿nosotros sólo nos preocupamos de cómo las cosas pueden ser aproximadas mediante variables aleatorias/procesos estocásticos y, a continuación, que no se preocupan realmente de la especificando $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ explícitamente, solo sabemos que está ahí en el fondo.

Answer 1

Normalmente, la única cosa que importa son las variables aleatorias y los supuestos sobre las variables. El subyacente espacio que debe ser "lo suficientemente ricos" para apoyar a los variables.

Cuando yo estaba aprendiendo probabilidad, me fue dado un problema en el que Alice y Bob jugar un juego de un laminado de morir una y otra vez. El ganador será la primera persona en obtener un $6$. ¿Cuál es la probabilidad de que Alicia gana? El problema no estaba formalizado como un espacio de probabilidad, y esto me tiene preocupado. ¿Cómo sé que voy a elegir "la derecha" el espacio?

Una forma de modelo sería tomar el espacio de $\{1, ... 6\}^\mathbb N$ de todas las secuencias de números en $\{1, ... 6\}$. Otra forma sería tomar sólo el espacio de todas las secuencias finitas de números de este tipo, en el que el último dígito es $6$. Equivalentemente, podemos tomar el conjunto de los enteros positivos divisibles por $6$ (lo que nosotros consideramos como la representación de una secuencia de morir rollos por medio de la base 6 de la notación, a ver. Ok, está bien, es de suponer que vamos a obtener la misma respuesta a la pregunta no importa que el espacio que utilizamos. Pero... ¿cómo puedo saber para asegurarse de que vamos a obtener la misma respuesta? Lo que si he de elegir un espacio arbitrariamente y obtener una respuesta, pero luego en algún lugar ahí fuera hay otra, igualmente plausible modelo que habría dado otra respuesta?

Peor que eso: incluso ignorando los modelos que yo no piense, ¿cómo puedo saber incluso los modelos que me hizo pensar son buenos modelos para el problema? Decir que me modelar el problema utilizando el espacio de todas las secuencias de números en $\{1, ... 6\}$. Ahora tengo un sigma álgebra y una distribución de probabilidad. Bueno, yo sé que, por ejemplo,$P(\{6\}\times\{1, ... 6\}^\mathbb N)=\frac 1 6$, ¿verdad? Pero espera. Yo no puedo solo decir que me sé de que. Por el amor de dios, estas probabilidades son las cosas que estoy tratando de calcular, en primer lugar, yo no podemos simplemente decir "oh, yo sé que intuitivamente van a ser de tal y tal". De lo contrario, podría ser que también acaba de decir "yo sé intuitivamente la respuesta a la pregunta es de 0,5" (no lo es) y lo llaman un día!

Es la situación desesperada? Bien, no. Finalmente he entendido cómo es que usted puede resolver estas dudas. Tenemos que recurrir a la herramienta más antigua de las matemáticas: el sistema axiomático. No podemos saber de antemano la exacta distribución de probabilidad que rige el resultado de este juego de dados, pero sabemos que satisface ciertos axiomas. Igual que Euclides no le importa exactamente lo de "puntos" y "líneas" son como el tiempo que satisfacer sus axiomas, no necesitamos que preocuparse de otra cosa que de nuestras variables aleatorias y los axiomas que satisfacer:

1. Hay una secuencia de morir rollos $X_1, X_2, ...$.
2. Cada uno se distribuye uniformemente en $\{1, ... 6\}$.
3. Todos ellos son independientes el uno del otro.

Esta es la manera de salir del callejón sin salida que acabo de decir "yo intuitivamente sabemos que la probabilidad de distribución va a ser tal y tal". No necesitamos hacer infinitamente muchos implícito intuitiva suposiciones acerca de la distribución de probabilidad, sólo tenemos que hacer tres explicitan los supuestos, y la razón de aquellos. Al igual que en la geometría: en lugar de razonamiento de un pantano de las implícita "visual intuición", la razón de una lista limitada de explicitan los supuestos.

Esto también resuelve el problema de tener que preocuparse por extraño modelos del problema que no hemos pensado, pero que puede dar diferentes respuestas. No tengo que decir "bueno, cada espacio que modela el problema de que no puedo pensar en los rendimientos de la misma respuesta". Sé que cada espacio que los modelos que el problema va a producir la misma respuesta, porque "modelos el problema" significa "satisface estos axiomas", y sólo se utilizan los axiomas en mi razonamiento.

Por lo tanto, no sólo estamos autorizados a no indicar explícitamente el espacio subyacente, pero hacerlo es una de las ideas clave que nos permite ser rigurosa en la teoría de la probabilidad.