Demostrando $\int_0^r{(r^m-x^m)^{1/m}dx}=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{m}+1\right)\Gamma\left(\frac{1}{m}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{m}+1\right)}r^2$

Question

Primero vamos a poner la pregunta de manera sucinta. Cómo se puede ir sobre el que muestra el siguiente?

$$\int_0^r{(r^m-x^m)^{1/m}dx}=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{m}+1\right)\Gamma\left(\frac{1}{m}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{m}+1\right)}r^2$$

Ahora un poco de exposición: Yo soy un entusiasta de las matemáticas y este resultado tipo de cayó en mi regazo después de jugar un poco con los "círculos"... Este es mi primer encuentro con la $\Gamma$ función. No estoy muy seguro de cómo uno va sobre el establecimiento de una reclamación. En este momento estoy en el "yo mejor mirar en esta $\Gamma$ función" parte de mi investigación, pero pensé que sería el documento de la cuestión y tomar cualquier entrada que ofrecen.

Considere la ecuación de $|x|^m+|y|^m=1$ $m \in {1,2,3}$

El $m=1$ de los casos corresponde entonces a la plaza en la foto que tiene longitudes de los lados $\sqrt{2}$. Todo cuadrado tiene área de $2$ y por lo tanto la zona de la plaza limitado al primer cuadrante es $1/2$.

$$\int_0^1{(1-x)dx}=\frac{\Gamma(2)\Gamma(2)}{\Gamma(3)}=\frac{(2-1)!(2-1)!}{(3-1)!}=\frac{1}{2}$$

Yo solo invocar la idea de que a través de los números enteros $\Gamma(n+1)=n!$ aquí porque he encontrado la fórmula mediante el examen de esta, en el caso de mis entradas para $\Gamma$ eran números enteros. Entonces cambié mi factorial símbolos con $\Gamma$s para obtener la demanda por encima de la cual sólo he verificado empíricamente.

Para el $m=2$ de los casos. Tenemos el círculo unidad. El área en el primer cuadrante debe ser $\pi/4$. Y, de hecho:

$$\int_0^1{(1-x^2)^{1/2}dx} =\frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma(2)} =\frac{ \sqrt{\pi}}{2}\frac{ \sqrt{ \pi} }{2}=\dfrac\pi4$$

Genial! Así que ahora yo estaba emocionada de ver que esta trabajado no sólo en los casos con todo el número de entradas a $\Gamma$.

$m=3$ Bien, entonces ¿cuál es el área bajo la curva de $|x|^3+|y|^3=1$? Esto corresponde a la parte más externa de la curva en el diagrama. Bueno... supongo que este valor debe ser algo trascendental número. Su construcción es similar a la manera en que pensamos acerca de $\pi$. Pero, ¿qué es?

$$\begin{align*}\int_0^1{(1-x^3)^{1/3}dx}&=\frac{\Gamma(\frac{1}{3}+1)\Gamma(\frac{1}{3}+1)}{\Gamma(\frac{2}{3}+1)}\\ &\approx 0.883319375142724978656844749824219351285934269101278765063\end{align*}$$

Que coincide con la integración numérica. Wolfram alpha puede presentar este número en un par de otras maneras. Por ejemplo, $$\frac{\Gamma(1/3)^3}{4\sqrt{3}{\pi}}$$ Estas otras representaciones parecen invocar la función Gamma.

Answer 1

En$x\to rx$$x^m\to x$, uno tiene \begin{eqnarray} &&\int_0^r{(r^m-x^m)^{1/m}dx}\\ &=&\int_0^1{(r^m-r^mx^m)^{1/m}rdx}\\ &=&r^2\int_0^1(1-x^m)^{1/m}dx\\ &=&r^2\frac1m\int_0^1(1-x)^{1/m}x^{\frac1m-1}dx\\ &=&r^2\frac1m\frac{\Gamma(\frac1m+1)\Gamma(\frac1m)}{\Gamma(\frac2m+1)}\\ &=&\frac{\Gamma^2(\frac{1}{m}+1)}{\Gamma(\frac{2}{m}+1)}r^2. \end{eqnarray} Aquí $$ \int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)},\Gamma(x+1)=x\Gamma(x) $$ se utilizan.

Answer 2

Uso de la función Beta y con la sustitución de $x=r\cos^{\frac2m}t$ escribir \begin{align} \int_0^r(r^m-x^m)^{1/m}dx &= \dfrac{r^2}{m} 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{\frac2m+1}t\cos^{\frac2m-1}t dt\\ &= \dfrac{r^2}{m} \beta\left(\frac2m+1,\frac2m\right)\\ &= \frac{\Gamma\left(\frac{1}{m}+1\right)\Gamma\left(\frac{1}{m}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{m}+1\right)}r^2 \end{align}