Una desigualdad en la que intervienen tres primos consecutivos

Question

¿Puede proporcionar una prueba o un contraejemplo de la siguiente afirmación :

Sea $p,q,r$ sean tres números primos consecutivos tales que $p\ge 11 $ y $p<q<r$ entonces $\frac{1}{p^2}< \frac{1}{q^2} + \frac{1}{r^2}$ .

He comprobado esta afirmación hasta $10^{10}$ .

Para $p>5$ obtenemos $\pi(2p)-\pi(p) \ge 2$ , a resultado de Ramanujan . Esto significa que $q<2p$ y $r<2p$ Así que $\frac{1}{2p}<\frac{1}{q}$ y $\frac{1}{2p}<\frac{1}{r}$ lo que implica $\frac{1}{p} < \frac{1}{q} + \frac{1}{r}$ . Si elevamos al cuadrado ambos lados de la desigualdad obtenemos $\frac{1}{p^2} < \frac{1}{q^2} + \frac{2}{qr} + \frac{1}{r^2}$ . Ahora , no sé cómo descartar término $\frac{2}{qr}$ .

Answer 1

La desigualdad se cumple para todo $p$ lo suficientemente grande. Sea $a>1$ sea tal que $a^{-2}+a^{-4}=1$ y $p_n$ sea el $n$ - primo. Por el Teorema de los números primos existe un $N$ tal que $p_{n+1}<a\,p_n$ para todos $n\ge N$ .si $p\ge p_N$ entonces $q<a\,p$ y $r<a\,q<a^2\,p$ y $$ \frac{1}{q^2}+\frac{1}{r^2}>\frac{1}{a^2\,p^2}+\frac{1}{a^4\,p^2}=\frac{1}{p^2}. $$

Answer 2

Esto es un comentario más que una respuesta

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Todos los primos $p_{n+1} < 2p_n$ . Sea $p'$ sea el primo anterior a $p$ , $q'$ sea el primo anterior a $q$ y $r'$ sea el primo anterior a $r$ . Entonces, $$p+q+r< 2(p' + q' + r')$$ Así que $$\frac{1}{p^2} < \frac{1}{\big(2(p' + q' + r') - q - r\big)^2}$$ También, $$\frac{1}{p^2} < \frac{1}{q^2} + \frac{2}{qr} + \frac{1}{r^2} = \left(\frac{1}{q} + \frac{1}{r}\right)^2.$$ Considere $$\frac{1}{\big(2(p' + q' + r') - q - r\big)^2} < \left(\frac{1}{q} + \frac{1}{r}\right)^2$$ multiplicando ambos lados por el denominador y restando $1$ de ambos lados, y luego factorizando, obtenemos $$0 < \left(\left(\frac{1}{q} + \frac{1}{r}\right)\left(2(p'+q'+r')-q-r\right) + 1\right)\left(\left(\frac{1}{q} + \frac{1}{r}\right)\left(2(p'+q'+r')-q-r\right) - 1\right)$$ Lo cual es cierto ya que los primos son siempre positivos, toda la desigualdad es literalmente sólo un montón de multiplicaciones, y si $p' = 2$ , $q' = 3$ y $r' = 5$ entonces se cumple esta desigualdad.

Por tanto, su conjetura sería cierta si $$\frac{1}{\big(2(p'+q'+r')-q-r\big)^2} < \frac{1}{q^2} + \frac{1}{r^2}.$$

Answer 3

He aquí una forma más fuerte de la desigualdad anterior. El teorema de los números primos implica que para cada $\epsilon$ existe un primo $p_{\epsilon}$ tal que para todo $p > p_{\epsilon}$ tenemos $1 - \epsilon < \frac{p}{q}, \frac{q}{r} < 1$ . Por lo tanto, para todo real positivo $a$ y todos los primos mayores que $p_{\epsilon_a}$

$$ \frac{2 - \epsilon_a}{p^a} < \frac{1}{q^a} + \frac{1}{r^a} < \frac{2}{p^a} $$