¿Puedes tomar el derivado de una función al infinito?

Question

Exactamente el título: ¿puedes tomar el derivado de una función al infinito?

Le pregunté a mi profesora de matemáticas, y aunque pensó que era una pregunta original, no sabía la respuesta, y no pude encontrar nada en Internet sobre esto.

Tal vez sólo soy yo malinterpretando completamente los derivados y las funciones al infinito, pero para mí, un estudiante de secundaria, tiene sentido que pueda. Por ejemplo, me imagino que una función con una asíntota horizontal tendría una derivada de cero al infinito.

Answer 1

En un sentido muy natural, ¡sí se puede! Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ es algún número real, entonces tiene sentido definir $f(\infty) = L$ donde identificamos $\infty$ y $-\infty$ en algo llamado compactación de un punto de los números reales (haciendo que parezca un círculo).

En ese caso, $f'(\infty)$ puede definirse como $$f'(\infty) = \lim_{x \to \infty} x \big(f(x) - f(\infty)\big).$$ Cuando aprendas algo sobre funciones analíticas y series de Taylor, te será útil darte cuenta de que esto es lo mismo que diferenciar $f(1/x)$ a cero.

Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que $\lim_{x \to \infty} f'(x)$ .

En realidad, estas ideas aparecen bastante en capacidad analítica así que es una buena idea.

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Quería ampliar un poco esta respuesta para explicar por qué ésta es la generalización "correcta" de la diferenciación en el infinito y, con un poco de suerte, abordar algunos puntos planteados en los comentarios.

Aunque $\lim_{x \to \infty} f'(x)$ puede parecer el objeto natural a estudiar, se comporta bastante mal. Hay funciones que decaen muy rápidamente a cero y tienen asíntotas horizontales, pero en las que $f'$ es ilimitado a medida que tendemos al infinito; considere algo como $\sin(x^a) / x^b$ para varios $a, b$ . Además, $\lim_{x \to \infty} f'(x) = 0$ no es suficiente para garantizar una asíntota horizontal, ya que $\sqrt{x}$ espectáculos.

Entonces, ¿por qué deberíamos considerar la definición que he propuesto más arriba? Consideremos el cambio natural de variables intercambiando cero e infinito*, intercambiando $x$ y $1/x$ . Entonces, si $g(x) := f(1/x)$ tenemos la relación

$$\lim_{x \to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x} = \lim_{x \to \infty} x \big(f(x) - f(\infty)\big).$$

Es decir, $g'(0) = f'(\infty)$ . Ahora mediante este cambio de variables, vecindades de cero para $g$ corresponden a vecindarios de $\infty$ para $f$ . Así que si pensamos en la derivada como un medida de variación local ahora tenemos algo que realmente desempeña el papel correcto.

Por último, podemos ver que esta definición de $f'(\infty)$ da el coeficiente $a_1$ de la serie Laurent $\sum_{i \ge 0} a_i x^{-i}$ de $f$ . De nuevo, esto corresponde a nuestra idea de lo que es realmente la derivada.

* Esta es una de las razones por las que utilicé la compactación de un punto más arriba. De lo contrario, todo lo que sigue debe ser un límite unilateral o una derivada unilateral.