Mentira grupos donde $x \mapsto x^2$ es un diffeomorphism?

Question

En cada Mentira grupo $G$ la función de $x \mapsto x^2$ es un local diffeomorphism en un barrio de la identidad.

(Esto es debido a que su diferencial es: $v \mapsto 2v$ cuando se considera como un mapa de $T_eG$ a sí mismo).

En algunas se encuentran los grupos es un mundial diffeomorphism, por ejemplo, en $\mathbb{R}^n$.

Me gustaría encontrar más ejemplos de la Mentira de los grupos en la plaza es un mundial diffeomorphism. Hay no abelian grupos donde este se mantiene?

Answer 1

Supongamos que es así. Voy a llamar a la inversa de la $s$ para la raíz cuadrada.

El mapa exponencial de una Mentira automáticamente al grupo inyectiva. Por si $e(a)=e(b)$,$s^k(e(a))=s^k(e(b))$; porque sabemos que las raíces cuadradas son únicos en $G$, sabemos que $s^k(e(a)) = e(a/2^k)$. Por lo suficientemente grande como $k$, debido a la exponencial mapa es una diffeomorphism cerca de cero, tenemos duduce $a/2^k=b/2^k$, por lo tanto $a=b$.

Ahora podemos invocar el Dixmier-Saito clasificación de la Mentira grupos con inyectiva exponencial para comprobar que la exponencial es en realidad un diffeomorphism. A continuación, defina $s(g) = e(e^{-1}(g)/2)$. Debido a $e$ es un diffeomorphism, esta es una bien definida suave mapa, que se puede consultar es la inversa de la cuadratura del mapa.

Por lo tanto $x \mapsto x^2$ es equivalente a la mapa exponencial de ser inyectiva, lo que es equivalente a todas las propiedades de los enlaces de la clasificación; en particular,

4. $G$ es solucionable, simplemente se conecta, y $\mathfrak{g}$ no admitir $\mathfrak{e}$ subalgebra de un cociente.
5. $G$ es solucionable, simplemente se conecta, y $\mathfrak{g}$ no admitir $\mathfrak{e}$ o $\tilde{\mathfrak{e}}$ subalgebra

Aquí $\mathfrak{e}$ es de las 3 dimensiones de la Mentira álgebra con base $(H,X,Y)$ y soporte $[H,X]=Y$, $[H,Y]=-X$, $[X,Y]=0$. Es isomorfo a el álgebra de Lie del grupo de las isometrías del plano. Su extensión central $\tilde{\mathfrak{e}}$ se define como la 4-dimensional Mentira álgebra definida por la adición de una central generador de $Z$ y el adicional distinto de cero soporte de $[X,Y]=Z$.

Uno en particular que no sea trivial ejemplo es el grupo de Heisenberg. Tenga en cuenta que esto no incluye a todos simplemente conectado nilpotent Mentira grupos, debido a $\mathfrak e$ sí es nilpotent! Así, la universalización de la cobertura del grupo de los orientados a la afín de que el avión es nilpotent sino $x \mapsto x^2$ no es un diffeomorphism.