de densidad de probabilidad del número máximo de muestras a partir de una normalizado de una distribución uniforme

Question

Supongamos que

$$X_1, X_2, \dots, X_n\sim Unif(0, 1), iid$$

y supongamos que

$$\hat\theta = \max\{X_1, X_2, \dots, X_n\} / \sum_i^nX_i$$

¿Cómo puedo encontrar la densidad de probabilidad de $\hat\theta$?

Yo sé la respuesta si es iid. Pero no sé cómo se formaliza el hecho de que la suma es iqual a 1.

un simiar pregunta se puede encontrar aquí: de densidad de probabilidad del número máximo de muestras a partir de una distribución uniforme

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Llego aquí: \begin{align} P(Y\leq x)&=P(\max(X_1,X_2 ,\cdots,X_n)/\sum_i^nX_i\leq x)\\&=P(X_1/\sum_i^nX_i\leq x,X_2/\sum_i^nX_i\leq x,\cdots,X_n/\sum_i^nX_i\leq x)\\ &\stackrel{ind}{=} \prod_{j=1}^nP(X_j/\sum_i^nX_i\leq x )\\& \ \ \ \ \ \end{align}

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\hat\theta_n\sim \frac 1 {1+\sum_{i=1}^{n-1}U_i} $$ porque yo.yo.d. uniformes estándar $U_i$. Ver ahora este y este

Answer 2

Si esto es cualquier ayuda, aquí están algunas de las simulaciones de la densidad.

Answer 3

Debido a la simetría, es suficiente con fijarse solamente en los casos en que $X_1$ es el máximo. En ese caso, $X_2, \dots, X_n$ son independientes y uniformemente distribuidos entre 0 y $X_1$. $$\theta = \frac{X_1}{X_1 + \sum_{i=2}^n X_i} \quad \text{with} \ X_2, \dots, X_n \sim U(0, X_1)$$ Ahora dividimos por $X_1$ a ambos lados de la fracción y obtenemos la fórmula A. S. nos dio. $$\theta = \frac{1}{1 + \sum_{i=2}^n X_i} \quad \text{with} \ X_2, \dots, X_n \sim U(0, 1)$$ La suma de $n$ iid los uniformes de las variables aleatorias tiene el Irwin–Hall de distribución. Es PDF (función de densidad de probabilidad) es: $$f(x) = \frac{1}{2\left(n-1\right)!}\sum_{k=0}^n\left(-1\right)^k{n \choose k}\left(x-k\right)^{n-1}\operatorname{sgn}(x-k)$$ Vamos $$ X = \sum_{i=2}^n X_i $$ El PDF de $X$ es: $$f_X(x) = \frac{1}{2\left(n-2\right)!}\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^k{n-1 \choose k}\left(x-k\right)^{n-2}\operatorname{sgn}(x-k)$$ Ahora podemos utilizar el cambio de variable para calcular el PDF de $\theta$. La siguiente fórmula se obtiene el PDF de $\theta$ si $\theta = g(X)$ $g(x)$ es monótona.

$$f_\theta(y) = \left| \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} (g^{-1}(y)) \right| \cdot f_X(g^{-1}(y))$$ Tenemos $$ \begin{array}{rl} g(x) &= \frac{1}{1 + x} \\ g^{-1}(y) &= 1/y - 1 \\ \left| \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} g^{-1}(y) \right| &= y^{-2} \end{array} $$ Así que el PDF de $\theta$ es: $$ \begin{array}{rl} f_\theta(y) &= \displaystyle \frac{1}{2 y^2 \left(n-2\right)!}\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^k{n-1 \choose k}\left(1/y-1-k\right)^{n-2}\operatorname{sgn}(1/y-1-k) \\ &= \displaystyle \frac{-1}{2 y^2 \left(n-2\right)!}\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^k{n-1 \choose k-1}\left(1/y-k\right)^{n-2}\operatorname{sgn}(1/y-k) \end{array} $$ Es positivo en $y \in (1/n, 1)$.

Aproximación de un gran $n$

La media y la varianza de los Irwin-Hall de distribución son, respectivamente,$\mu=n/2$$\sigma^2=n/12$. Debido a que el Irwin-Hall de distribución es la suma de $n$ iid variables aleatorias, el teorema del límite central afirma que para que un gran $n$ a que su distribución es muy cerca a la distribución normal con la misma media y varianza. La distribución normal tiene en PDF: $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi} } \; \exp\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)$$ La sustitución de $\mu$ $\sigma^2$ con la media y la varianza de los Irwin-Hall de distribución con el parámetro $n-1$ nos llega: $$f_X(x) \approx \frac{1}{\sqrt{\pi (n-1)/6} } \; \exp\left( -\frac{(x-(n-1)/2)^2}{(n-1)/6} \right)$$ Utilizando el mismo cambio de variable técnica que el anterior, se obtiene la distribución de $\theta$ grandes $n$: $$ \begin{array}{rl} f_\theta(y) &\approx \displaystyle \frac{1}{y^2\sqrt{\pi (n-1)/6} } \; \exp\left( -\frac{(1/y-1-(n-1)/2)^2}{(n-1)/6} \right) \\ &= \displaystyle \frac{1}{y^2\sqrt{\pi (n-1)/6} } \; \exp\left( -\frac{3}{2}\cdot\frac{(2/y-n-1)^2}{n-1} \right) \end{array} $$

Answer 4

Primero, permítanme reformular el problema un poco

$$ P(\theta)d\theta = \left[\int_{0}^1 dy P(\max\{X_i\}=y)\cdot P\left(\bar{X}=\frac{y}{n\theta} \medio| \max \{X_i\}=y \right)\right]d\bar{X} $$

Se menciona en este enlace que $$ P(\max\{X_i\}=y)=y^n $$

Sin perder la generosidad, también puedo cambiar el orden de la ${X_i}$${\mu_i}$, por lo que el $\mu_n=\max\{X_i\}=y$.

Ahora podemos definir $\bar{\mu}=\sum_{i=0}^{n-1}\mu_i/(n-1)$ , lo que $$ P\left(\bar{X}=\frac{y}{n\theta} \medio| \max \{X_i\}=y \right)d\bar{X} = P\left(\bar{\mu}=\frac{1-\theta}{(n-1)\theta}y \media| \mu_i \sim Unif(0,y)\right)d\bar{\mu} $$

Definir $z_i=y\mu_i$, podemos escribir

$$ P(\theta)d\theta = \int_{0}^1 dy d\bar{\mu} \left[ y^n\cdot P\left(\bar{\mu}=\frac{1-\theta}{(n-1)\theta}y \media| \mu_i \sim Unif(0,y) \right)\right] \\ = \int_{0}^1 dy \underbrace{ d\bar{z} \left[P\left(\bar{z}=\frac{1-\theta}{(n-1)\theta}y \media| z_i \sim Unif(0,1) \right)\right] }_{P_0} $$

Aviso de la parte I etiquetados como $P_0$ es independiente de $y$, por lo que podemos llevar a cabo la integral trivialmente. $$ P(\theta)d\theta = P_0= \left[P\left(\bar{z}=\frac{1-\theta}{(n-1)\theta}y \media| z_i \sim Unif(0,1) \right)\right] d\bar{z} \\ =\left[P\left(\bar{z}=\frac{1-\theta}{(n-1)\theta}y \media| z_i \sim Unif(0,1) \right)\right] \left|\frac{1}{(n-1)\theta^2}\right|d\theta $$

Creo que hay algunos generales de la analítica de la forma de esta distribución de $\bar{z}$ arbitrarias $n$, pero simplemente no puedo resolver eso. Sin embargo, hay algunos solucionable ejemplos para probar esta fórmula:

n=2: $$ P(\theta)=\left[P\left(z_1=\frac{1-\theta}{\theta} \medio| z_1 \sim Unif(0,1) \right)\right] \frac{1}{\theta^2} = \frac{1}{\theta^2} $$

n=3: $$ P(\theta)=\left[P\left(\frac{z_1+z_2}{2}=\frac{1-\theta}{2\theta} \medio| z_1,z_2 \sim Unif(0,1) \right)\right] \frac{1}{2\theta^2} =\left[2-4*\left|\frac{1-\theta}{2\theta}-0.5\right|\right] \frac{1}{2\theta^2} $$

n es grande

Al $n$ es grande, desde el teorema central del límite, sabemos que $$ P\left(\bar{z}=\frac{1-\theta}{(n-1)\theta} \medio| z_i \sim Unif(0,1) \right) \aprox P_\text{Gauss}\left(\frac{1-\theta}{(n-1)\theta}, \mu=0.5, \sigma^2=\frac{1}{12n}\right)\\ =\sqrt{\frac{6n}{\pi}}\exp\left[-6n\left(\frac{1-\theta}{(n-1)\theta}-0.5\right)^2\right] $$

Con alguna aproximación $n\gg 1$, se puede escribir de la forma más ordenadamente como $$ \lim_{n\to \infty}P(\theta)\approx \frac{1}{n\theta^2} \sqrt{\frac{6n}{\pi}}\exp\left[-6n\left(\frac{1-\theta}{n\theta}-0.5\right)^2\right] $$

MLE con gran n El valor máximo de densidad de probabilidad es aproximadamente $$ \frac{1-\theta}{n\theta}=0.5 \Rightarrow \theta=\frac{2}{n} $$