Existe una formula, para la determinación de la longitud de la fórmula más breve, que sólo utiliza el número '1', entre paréntesis, y el hiperoperaciones de $\{\{+, - \}, \{\times, / \}, \{\text{^}, \log_N,\text{nth root}\}, \{↑↑,\ldots\}, \ldots \}$ , que es igual a un determinado número natural?
La tendencia es simple al principio, antes de que poco a poco convirtiendo en algo muy complejo, a continuación se muestra una lista de lo que creo que debe ser de los primeros (los primeros 400) elementos, seguido por una lista de sus longitudes.
$$\small{1\\1+1\\1+1+1\\1+1+1+1\\1+1+1+1+1\\1+1+1+1+1+1\\1+1+1+1+1+1+1\\(1+1)\text{^}(1+1+1)\\(1+1+1)\text{^}(1+1)\\(1+1+1)\text{^}(1+1)+1\\(1+1+1)\text{^}(1+1)+1+1\\(1+1+1+1)\times(1+1+1)\\(1+1+1+1)\times(1+1+1)+1\\(1+1)↑↑(1+1+1)-1-1\\(1+1)↑↑(1+1+1)-1\\(1+1)↑↑(1+1+1)\\(1+1)↑↑(1+1+1)+1\\(1+1)↑↑(1+1+1)+1+1\\(1+1)↑↑(1+1+1)+1+1+1\\(1+1)↑↑(1+1+1)+1+1+1+1\\(1+1)↑↑(1+1+1)+1+1+1+1+1\\(1+1+1)↑↑(1+1)-1-1-1-1-1\\(1+1+1)↑↑(1+1)-1-1-1-1\\(1+1+1)↑↑(1+1)-1-1-1\\(1+1+1)↑↑(1+1)-1-1\\(1+1+1)↑↑(1+1)-1\\(1+1+1)↑↑(1+1)\\(1+1+1)↑↑(1+1)+1\\(1+1+1)↑↑(1+1)+1+1\\(1+1+1)↑↑(1+1)+1+1+1\\(1+1)\text{^}(1+1+1+1+1)-1\\(1+1)\text{^}(1+1+1+1+1)\\\ldots\\(1+1+1)↑↑(1+1)\times(1+1)\\\ldots\\(1+1)\text{^}(1+1+1+1+1+1)\\\ldots\\(1+1+1)\text{^}(1+1+1+1)\\\ldots\\(1+1+1)↑↑(1+1)\times(1+1+1+1)\\\ldots\\(1+1+1+1+1)\text{^}(1+1+1)\\(1+1+1+1+1)↑↑(1+1+1)+1\\(1+1+1+1)↑↑(1+1)/(1+1)-1\\(1+1+1+1)↑↑(1+1)/(1+1)\\\ldots\\(1+1+1+1)↑↑(1+1)\\\ldots\\(1+1+1+1)↑↑(1+1)*(1+1+1)/(1+1)\\(1+1)↑↑(1+1+1)\times(1+1+1+1+1)\text{^}(1+1)\\\ \\1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 13, 13, 15, 17, 17, 19, 17, 15, 13\\15, 17, 19, 21, 23, 23, 21, 19, 17, 15, 13, 15, 17, 19, 19, 17\\\ldots}$$
En respuesta, Elaqqad, si es así restringir las operaciones a las primeras, tal vez con un poco de información acerca de por qué esto es necesario.
Gracias a Ross Millikan, para mostrar que con simplemente '1', entre paréntesis, $+$$\times$, la respuesta es la secuencia en oeis.org/A005245y además con poderes es oeis.org/A025280.
Thease secuencias de desacelerar de manera fantástica :)
Thease secuencias tome solamente la cantidad de $1$s en cuenta y se ignoran factores tales como los paréntesis de la complejidad. De la $2$nd secuencia de números que son más complicados para la construcción de cualquier número menor son:
$1, 2, 3, 4,\\5, 7, 11, 13, 21, 23, \ldots$
De que no sean de primera:
$4, 21, \ldots$
Desde mi secuencias de arriba:
Los números que son más complicados para la construcción de cualquier número menor son:
$1, 2, 3, 4, 5, 6,\\7, 10, 11, 13, 20, 21, \ldots$
De que no sean de primera:
$4, 6, 10, 20, 21\ldots$
La siguiente tabla muestra la primera aparición de las operaciones, aunque los valores más grandes sin embargo, puede resultar inexacta:
$+\ 2\\-\ 14\\\times\ 12\\/\ 384\\\text{^}\ 9\\↑↑\ 16$
