Por qué la línea larga no es un espacio de cubierta para el círculo

Question

Sé de varias razones por las que el largo de la línea no se pueden cubrir con un espacio para el círculo, pero yo soy más curioso en lo que exactamente va mal con las siguientes cubriendo mapa.

Deje $L$ ser el largo de la línea y definir $p: L \rightarrow \mathbb S^1$ envolviendo cada segmento de la línea alrededor del círculo unitario una vez, esencialmente de la misma manera como con $\mathbb R$. Claramente tenemos que para $x \in \mathbb S^1$ la cardinalidad de la fibra $p^{-1}(0)$ es incontable, lo que no es posible, ya que el grupo fundamental de que el círculo es la contable. Pero no está claro para mí por qué el $p$ no es una cubierta mapa. Ciertamente surjective y parece ser continua y un local homeomorphism. Sin embargo, una de estas condiciones tiene que fallar. Es el mapa no tan bien definido como yo pensaba originalmente.

Asumo que estoy entendiendo la larga línea de una manera fundamental.

Answer 1

La función de "obvia" de la larga línea del círculo no es continua en los ordinales del límite. Al acercarse a un ordinal del límite por la izquierda, el mapa gira alrededor del círculo infinitamente muchas veces y por lo tanto no converge a un valor límite en el círculo.

Answer 2

Recuerda que cada mapa continuo de la línea de tiempo a los números verdaderos es finalmente constante. Esto da una contradicción con la continuidad de $p$ (lo que te puedo decir desde una mirada superficial al menos).