Factorizar una ecuación cuadrática con números complejos

Question

Yo soy muy nuevo en los números complejos y estoy teniendo algunas dificultades para la factorización de un polinomio cuadrático: $$x^2-2x+10.$$ Using the quadratic formula gives $$x=\frac{4 \pm\sqrt{4-2(1)10}}{2(1)}=\frac{2 \pm \sqrt{-36}}{2}=1 \pm 6i$$

Pero el equipo me da $(x-1+3i)(x-1-3i)$

Estoy haciendo algo mal?

Answer 1

La fórmula cuadrática es

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Así que usted debe tener

$$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4(1)10}}{2(1)}=\frac{2\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac 22\pm\frac {6i}2=1\pm3i$$

¿Puedes ver las diferencias con su respuesta?

Answer 2

En este caso, sólo se puede comprobar que los valores de $x$ satisfagan la ecuación. Para $x=1+6i$,

$$(1+6i)^2 -2(1+6i) + 10 = 1 -12i - 36 - 2 + 12i + 10 = -27\ne 0 $$

Mientras que para $x=1+3i$,

$$(1+3i)^2 - 2(1+3i) + 10 = 1 - 6i - 9 - 2 + 6i + 10 = 0. $$

Recuerde que para que un polinomio cuadrático $p(x)=ax^2+bx+c$, un complejo número de $x+yi$ es una raíz de $p$ si y sólo si $x-yi$ es una raíz de (usted puede verificar esto por un cálculo directo). Así, vemos que las raíces se $1\pm3i$.